知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某学校现有学生800名，其中200名学生参加过短期实习（称为A组学生），另外600名学生参加过长期实习（称为B组学生），从该学校的学生中按分层抽样共抽查了80名学生，调查他们的学习能力得到A组学生学习能力的茎叶图，B组学生学习能力的频率分布直方图．

（1）问A组、B组学生各抽查了多少学生，并求出直方图中的x；
（2）求A组学生学习能力的中位数，并估计B组学生学习能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若规定学习能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关．能力与实习时间列联表

短期实习长期实习合计

能力优秀

能力不优秀

合计

参考数据：

P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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2．
2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查．并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19︰21．其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2︰1．

（Ⅰ）求图中a，b的值；

（Ⅱ）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？

（Ⅲ）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9％的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？

关注

不关注

合计

青少年人

中老年人

合计

难度：较难

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3．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．
（1）求m，n的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D-5x%2Bb$ ．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）
2×2列联表

男女合计

消费金额≥300

消费金额＜300

合计

临界值表：

P（K²≥k₀） 0.050 0.010 0.001

k₀ 3.841 6.635 10.828

$K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d

难度：较难

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4．某省确定从2021年开始，高考采用“3十l+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目，“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n名学进行讲行调查．
（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；
（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

性别选择物理选择历史总计

男生 50

女生 30

总计

（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理’’的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率，
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．

难度：较易

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5．某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖．以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．

时间区间 [9，11） [11，13） [13，15） [15，17） [17，19） [19，21]

每单收入（元） 6 5.5 6 6.4 5.5 6.5

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；
（Ⅱ）在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单，且男性订的外卖中有20单带饮品，女性订的外卖中有10单带饮品，请完成下面的2×2列联表，并回答是否有99.5%的把握认为“带饮品和男女性别有关”？

带饮品不带饮品总计

男

女

总计

附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k） 0.050 0.010 0.005 0.001

k 3.841 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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6．
某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；

学时数

[5，10）

[10，15）

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；
（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．
（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？

非十分爱好该课程者

十分爱好该课程者

合计

男性

女性

合计

100

附： $K%5E%7B2%7D%5Ctext%7B%3D%7D%5Cfrac%7Bn%28ad%5Ctext%7B-%7Dbc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%5Ctext%7B%2B%7Db%29%28c%5Ctext%7B%2B%7Dd%29%28a%5Ctext%7B%2B%7Dc%29%28b%5Ctext%7B%2B%7Dd%29%7D$ ，n=a+b+c+d

P（K²≥k₀）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k₀

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

难度：中等

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7．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．
在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：

普查对象类别顺利不顺利合计

企事业单位 40 10 50

个体经营户 100 50 150

合计 140 60 200

（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择1家企事业单位，3家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值．
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k₀） 0.10 0.010 0.001

k₀ 2.706 6.635 10.828

难度：较易

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8．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．
表1：甲流水线样本频数分布表

产品重量（克）频数

（490，495] 6

（495，500] 8

（500，505] 14

（505，510] 8

（510，515] 4

（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；
（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．

甲流水线乙流水线合计

合格品 a= b=

不合格品 c= d=

合　计 n=

参考公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ 其中n=a+b+c+d；临界值表供参考：

P（k²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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9．

为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛，学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛，将参加预选赛的学生成绩（单位：分）按范围[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图：
（1）计算这次预选赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若对得分在前15%的学生进行校内奖励，估计获奖分数线；
（3）若这60名学生中男女生比例为2：1，成绩不低于60分评估为“成绩良好”，否则评估为“成绩一般”，试完成下面2×2列联表，是否有90%的把握认为“成绩良好”与“性别”有关？

	成绩良好	成绩一般	合计
男生	15	______	______
女生	______	______	______
合计	______	______	______

附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d
临界值表：

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.010
k₀	2.706	3.841	6.635

难度：中等

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10．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

语文特别优秀语文不特别优秀合计

数学特别优秀

数学不特别优秀

合计

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
参考数据：

P（K²≥k₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

k₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：难

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0/40

进入组卷

	短期实习	长期实习	合计
能力优秀
能力不优秀
合计

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

时间区间	[9，11）	[11，13）	[13，15）	[15，17）	[17，19）	[19，21]
每单收入（元）	6	5.5	6	6.4	5.5	6.5

学时数	[5，10）	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
男性	18	12	9	9	6	4	2
女性	2	4	8	2	7	13	4

	非十分爱好该课程者	十分爱好该课程者	合计
男性
女性
合计			100

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

普查对象类别	顺利	不顺利	合计
企事业单位	40	10	50
个体经营户	100	50	150
合计	140	60	200

产品重量（克）	频数
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

	甲流水线	乙流水线	合计
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合　计			n=

	语文特别优秀	语文不特别优秀	合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计

	关注	不关注	合计
青少年人
中老年人
合计

	男	女	合计
消费金额≥300
消费金额＜300
合计

性别	选择物理	选择历史	总计
男生		50
女生	30
总计

	带饮品	不带饮品	总计
男
女
总计

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	…	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	…	6.635	7.879	10.828