知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，离心率为
6
3
，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于4
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

难度：中等

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2．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x²+（y-1）²=r²（r＞0），圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
TA
•
TB
的最小值，并求出此时圆T的方程；
（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，|F1F2|=2
2
，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于4
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

难度：中等

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4．当α∈（

，

3π

）时，方程x²sinα-y²cosα=1表示的曲线是（　　）

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的双曲线

难度：较易

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5．椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，离心率e=
1
2
，焦点F₁、F₂在x轴上，过左焦点F₁ 与A 做直线交椭圆E于B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△ABF₂的面积．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）²+y²=
49
4
的圆心为M，圆N：（x-1）²+y²=
1
4
的圆心为N，一动圆C与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若
OA
•
OB
=-2，求直线l的方程．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，一个顶点为A（2，0），离心率为
2
2
，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为
4
2
5
时，求k的值．

难度：中等

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与y轴交于B₁、B₂两点，F₁为椭圆C的左焦点，且△F₁B₁B₂是腰长为
2
的等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P₁（P₁与Q不重合），则直线P₁Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

难度：中等

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9．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
5
5
，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得
1
|AB|
+
λ
|CD|
为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆C上异于A，B两点的任意一点，当△PAB为等腰三角形时，则△PAB的面积为2，．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AP与直线x=4交于点M，直线MB交椭圆C于点Q，试问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由．

难度：较难

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