知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，点P(1，
3
2
)在椭圆C上，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点B，且2
F1F2
+
F2B
=
0
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得36|QP|²=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．如图，点F为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x-t）²+y²=
16
3
（t＜0）与椭圆C的一个公共点为B（0，2），且直线FB与圆A相切于点B．
（Ⅰ）求t的值和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．

难度：中等

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3．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）它的离心率为
3
3
，一个焦点是（-1，0），过直线x=3上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A和B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问是否存在实数λ，使得|
AC
|+|
BC
|=λ|
AC
|•|
BC
|成立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别F₁，F₂，点P(-1，
3
2
)是椭圆C的一点，满足
PF 1
•
PF2
=
9
4
．
（I）求椭圆C的方程．
（II）已知O为坐标原点，设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
(0＜λ＜4，λ≠2)．求证：直线AB的斜率为定值．

难度：中等

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6．已知点P为圆x²+y²=4上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q（P与Q不重合），M为线段PQ中点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线y=kx交（1）中轨迹C于A，B两点，当直线MA，MB斜率K_MA，K_MB都存在时，求证：K_MA•K_MB为定值．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1，0），其离心率为
2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x+m与C相交于A，B两点，若
OA
•
OB
=-1（O为坐标原点），求实数m的值．

难度：中等

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8．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，点P是椭圆E上的一个动点，△PF₁F₂的周长为6，且存在点P使得，△PF₁F为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆E上不重合的四个点，AC与BD相交于点F₁，且
AC
•
BD
=0．若AC的斜率为
3
，求四边形ABCD的面积．

难度：中等

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9．（Ⅰ）在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，当P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为曲线为C，斜率为k（k≠0）的直线l交曲线C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，记直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，当3（k₁+k₂）=8k时，证明：直线l过定点．

难度：中等

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10．椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=
1
2
，P是椭圆上的一点，已知△PF₁F₂内切圆半径为1，内心为I，且S △PIF1+S △PIF2=2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆的左焦点F₁做两条互相垂直的弦AB，CD，求|
AB
|+|
CD
|的最小值．

难度：中等

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