知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知双曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ ，其右顶点为P．
（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线l过点P，其法向量为 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（1，-1），若在双曲线C上恰有三个点P₁，P₂，P₃到直线l的距离均为d，求d的值．

难度：较易

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2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ -y²=1（a＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，且经过右焦点F₂的直线l与双曲线的右支交于A、B两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）求△ABF₁的面积的取值范围．

难度：较易

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3．设双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a，b＞0）的实轴长为4 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，焦点到渐近线的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线y= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ ，求m的值及点C的坐标．

难度：难

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4．已知双曲线x²-y²=1，点F₁，F₂为其两个焦点，点P为双曲线上右支上一点，N为线段PF₁的中点，O为双曲线的中心，若|PF₁|=5，则线段ON的长度为 ______ ．

难度：易

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5．已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，焦点到一条渐近线的距离为1，
①求M的标准方程
②直线y=kx+1交M的左支于A、B两点，E为AB的中点，F为其左焦点，求直线EF在y轴上的截距m的取值范围．

难度：较易

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6．已知双曲线T： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ -y²=1，过点B（-2，0）的直线交双曲线T于点A（点A不为双曲线顶点），若AB中点Q在直线y=x上，点P为双曲线T上异于A，B的任意一点且不为双曲线的顶点，直线AP，BP分别交直线y=x于M，N两点，则 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ 的值为（　　）

A．- $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7B3%7D$

B．- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

C．- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

D．-8

难度：较易

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7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为 $%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8C0%29$ ．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．已知双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3E0%2Cb%3E0%29$ 的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：B、P、N三点共线；
(3)求△BMN面积的最小值．

难度：较难

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9．已知两定点 $F_%7B1%7D%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ， $F_%7B2%7D%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ，满足条件 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D%7C-%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D%7C$ =2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%7CAB%7C%7D%3D6%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 且曲线E上存在点C，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3Dm%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ 求m的值和△ABC的面积S．

难度：较难

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10．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁(-3，0)，一条渐近线的方程是 $%20%5Csqrt%20%7B5%7Dx-2y%3D0$ ．
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B81%7D%7B2%7D$ ，求k的取值范围．

难度：较难

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