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          共50条信息

            • 1．

              已知直线\(x-2y-4=0\)与抛物线\(y^{2}=x\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)是坐标原点，试在抛物线的弧\(AOB\)上求一点\(P\)，使\(\triangle ABP\)的面积最大，并求最大值．

              难度：难
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            • 2．

              设抛物线\(x^{2}=2y\)的焦点为\(F\)，经过点\(P(1,3)\)的直线\(l\)与抛物线相交于\(A\)，\(B\)两点，且点\(P\)恰为\(AB\)的中点，则\(|\overrightarrow{{AF}}|+|\overrightarrow{{BF}}|=\)____\(.\) 

              难度：中等
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            • 3．

              如图，抛物线\(C_{1}{:}y^{2}{=}2x\)和圆\(C_{2}{:}{(x{-}\dfrac{1}{2})}^{2}{+}y^{2}{=}\dfrac{1}{4}\)，直线\(l\)经过\(C_{1}\)的焦点，依次交\(C_{1}{,}C_{2}\)于\(A{,}B{,}C{,}D\)四点，则\(\overrightarrow{AB}⋅ \overrightarrow{CD} \)的值为______．

              难度：较难
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            • 4．

              已知\(F\)为抛物线\(C: y^{2}=4x\)的焦点，过\(F\)的直线\(l\)与\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的垂直平分线交\(x\)轴于点\(M\)，垂足为\(E\)，若\(\left| {AB} \right|=6\)，则\(\left| {EM} \right|= (\)　　\()\)

              A．\(2\sqrt{2}\)
              B．\(\sqrt{6}\)
              C．\(2\) 
              D．\(\sqrt{3}\)
              难度：中等
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            • 5．

              已知倾斜角为\(\dfrac{π}{4} \)的直线经过抛物线\(r\)：\({y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)的焦点\(F\)，与抛物线\(r\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(\left|AB\right|=8 \)．

              \((\)Ⅰ\()\)求抛物线的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)过点\(P\left(12,8\right) \)的两条直线\({l}_{1} \)、\({l}_{2} \)分别交抛物线\(r\)于点\(C\)、\(D\)和\(E\)、\(F\)，线段\(CD\)和\(EF\)的中点分别为\(M\)、\(N.\)如果直线\({l}_{1} \)与\({l}_{2} \)的倾斜角互余，求证：直线\(MN\)经过一定点．

              难度：难
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            • 6． 已知直线\(l\)的方程为\(y=x+1\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\sin \)\({\,\!}^{2}\)\(θ-4\cos θ=0(ρ\geqslant 0,0\leqslant θ < 2π)\)，则直线\(l\)与曲线\(C\)的公共点的极径\(ρ=\)________．
              难度：中等
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            • 7．

              已知点\(P\)是抛物线\(C\)：\(y^{2}=x\)上的定点\((P\)位于第一象限\()\)，动直线\(l\)：\(y=- \dfrac{ \sqrt{3}}{6}x+m(m < 0)\)与抛物线\(C\)相交于不同的两点\(A\)，\(B\)，若对任意的\(m∈(-∞,0)\)，直线\(PA\)，\(PB\)的倾斜角总是互补，则点\(P\)的坐标是________．

              难度：较难
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            • 8．

              已知抛物线\(C:{y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)与直线\(x- \sqrt{2}y+4=0 \)相切．

              \((1)\)求该抛物线的方程；

              \((2)\)在\(x\)轴的正半轴上，是否存在某个确定的点\(M\)，过该点的动直线\(l\)与抛物线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，使得\( \dfrac{1}{{\left|AM\right|}^{2}}+ \dfrac{1}{{\left|BM\right|}^{2}} \)为定值\(.\)如果存在，求出点\(M\)的坐标；如果不存在，请说明理由

              难度：难
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            • 9． 已知过点\(A(-4,0)\)作动直线\(m\)与抛物线\(G\)：\(x^{2}=2py(p > 0)\)相交于\(B\)、\(C\)两点．
              \((1)\)当直线的斜率是\( \dfrac {1}{2}\)时，\( \overrightarrow{AC}=4 \overrightarrow{AB}\)，求抛物线\(G\)的方程；
              \((2)\)设\(B\)、\(C\)的中点是\(M\)，利用\((1)\)中所求抛物线，试求点\(M\)的轨迹方程．
              难度：较易
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            • 10．

              已知定点\(F(0,1)\)和直线\(l_{1}\)：\(y=-1\)，过定点\(F\)与直线\(l_{1}\)相切的动圆的圆心为点\(C\)．

              \((1)\)求动点\(C\)的轨迹方程；

              \((2)\)过点\(F\)的直线\(l_{2}\)交轨迹于\(P\)，\(Q\)两点，交直线\(l_{1}\)于点\(R\)，求\(\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}\) 的最小值．

              难度：较难
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