知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

点\(D\)是\(\Delta ABC\)的边\(AB\)的中点，\(\angle ABC={{120}^{\circ }}\)，\(\dfrac{\left| CD \right|}{\left| AB \right|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，若以\(A\)、\(B\)为焦点的双曲线恰好经过点\(C\)，则该双曲线的离心率为 \((\) \()\)

A． \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

B．\(\dfrac{\sqrt{7}+1}{3}\)

C．\(\sqrt{2}+1\)

D．\(\sqrt{3}+1\)

难度：中等

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2．已知直线\(l_{1}\)：\( \sqrt{3}x+ \sqrt{10}y-4=0\)为曲线\(C_{1}\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一条切线，直线\(l_{2}\)：\(x-2y-4=0\)为曲线\(C_{2}\)：\( \dfrac{x^{2}}{4a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{2b^{2}}=1\)的一条切线．
\((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)的方程；

\((2)\)作抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}\)\(=2px(p > 0)\)交\(C\)\({\,\!}_{1}\)于\(A\)，\(B\)两点，交\(C\)\({\,\!}_{2}\)于\(C\)，\(D\)两点，当以\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点为顶点的凸四边形面积为最大时，求实数\(p\)的值．

难度：较难

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3．

\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(\left| \overrightarrow{a} \right|=2,\left| \overrightarrow{b} \right|=1\)，则\(\left| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right|=\)_____．

\((2)\)已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的右顶点为\(A\)，以\(A\)为圆心，\(b\)为半径作圆\(A\)，圆\(A\)与双曲线\(C\)的一条渐近线交于\(M\)，\(N\)两点\(.\)若\(∠MAN=60^{\circ}\)，则\(C\)的离心率为_____．

\((3)\)在\(\triangle ABC\)中，\(AB\)边上的中线\(CO=4\)，若动点\(P\)满足\(\overrightarrow{PA}={{\sin }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{OA}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{CA}(\theta \in R)\)，则\((\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\cdot \overrightarrow{PC}\)的最小值是．

\((4)\)如图，圆形纸片的圆心为\(O\)，半径为\(5 cm\)，该纸片上的等边三角形\(ABC\)的中心为\(O\)．\(D\)，\(E\)，\(F\)为圆\(O\)上的点，\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)分别是以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为底边的等腰三角形\(.\)沿虚线剪开后，分别以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为折痕折起\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)，使得\(D\)，\(E\)，\(F\)重合，得到三棱锥\(.\)当\(\triangle ABC\)的边长变化时，所得三棱锥体积\((\)单位：\(cm\)\({\,\!}^{3}\)\()\)的最大值为_____．

难度：较难

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4．
已知\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)是过点\(P\)\((- \sqrt{2} ,0)\)的两条互相垂直的直线，且\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)与双曲线\(y\)\({\,\!}^{2}-\)\(x\)\({\,\!}^{2}=1\)各有两个交点，分别为\(A\)\({\,\!}_{1}\)、\(B\)\({\,\!}_{1}\)和\(A\)\({\,\!}_{2}\)、\(B\)\({\,\!}_{2}\)．

\((1)\)求\(l\)\({\,\!}_{1}\)的斜率\(k\)\({\,\!}_{1}\)的取值范围；\((2)\)若\(｜\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}｜= \sqrt{5} ｜\)\(A\)\({\,\!}_{2}\)\(B\)\({\,\!}_{2}｜\)，求\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)的方程．

难度：较难

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5．

已知两定点\(F_{1}(-\sqrt{2},0)\)，\(F_{2}(\sqrt{2},0)\)，满足条件\(|PF_{2}|-|PF_{1}|=2\)的点\(P\)的轨迹是曲线\(E\)．

\((1)\)求曲线\(E\)的标准方程；

\((2)\)设过点\((0,-1)\)的直线与曲线\(E\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=6\sqrt{3}\)，求直线\(AB\)的方程．

难度：较易

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6．
设双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > 0,b > 0\right) \)的半焦距为\(c\)，坐标原点到直线\(l\)：\(bx+ay=ab\)的距离等于\(\dfrac{1}{4}c+1\)，则\(c\)的最小值为_______．

难度：中等

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7．
如图所示的“\(8\)”字形曲线是由两个关于\(x\)轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是\(x^{2}+y^{2}-4y-4=0\)，双曲线的左、右顶
点\(A\)、\(B\)是该圆与\(x\)轴的交点，双曲线与半圆相交于与\(x\)轴平行的直径的两端点．
\((1)\)试求双曲线的标准方程；
\((2)\)记双曲线的左、右焦点为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，试在“\(8\)”字形曲线上求点\(P\)，使得
\(∠F_{1}PF_{2}\)是直角．

难度：较易

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