知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

难度：中等

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2．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为
π
4
．
①求正方形ABCD的边长；
②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出
EG
EO
的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，
（1）证明：BD⊥平面BCF；
（2）设二面角E-BC-D的平面角为α，求sinα；
（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=
π
3
．
（1）求证：EF⊥PC；
（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．

难度：较难

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M-BQ-C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=
6
a．
（1）若P是AC边上的一点，当△PBD的面积最小时，求二面角P-BD-A的平面角的正切值；
（2）能否找到一个球，使A，B，C，D都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值．

难度：较难

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7．（2014秋•江岸区校级期中）如图，P为60°的二面角α-l-β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为．

难度：较难

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求二面角E-AB-D的大小．

难度：中等

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9．（理）二面角α-l-β的平面角为60°，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB=AC=BD=2，则CD的长为．

难度：较难

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10．（2011秋•越城区校级期中）如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为30°、45°，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1，线段AB的长为．

难度：中等

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