知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为(1，
1
2
，2)，则m= ．

难度：中等

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小．

难度：中等

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3．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=
5
，AB=AD=
2
．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

难度：中等

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4．已知点A（1，0，0），B（0，
1
2
，0），C（0，0，1）求平面ABC的一个法向量．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=
3
，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

难度：较难

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6．如图，三角ABC是边长为4正三角形，PA⊥底面ABC，PA=
7
，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥AC．
（1）证明：DE⊥平面PAC；
（2）求直线AD和平面PDE所成角的正弦值．

难度：较难

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7．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，
（1）求证：D′F∥平面A′DE；
（2）求二面角A-DE-A′的余弦值．

难度：中等

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8．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=
2
，PB⊥PD．设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD．

难度：较难

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9．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD₁-C的余弦值．

难度：中等

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点．
（I）求异面直线PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（III）求二面角F-PC-E的大小．

难度：中等

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