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          共50条信息

            • 1．
              如图，四边形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(∠ABD=30^{\circ}\)，\(AB=2CD=2AD=2\)\( \sqrt{3}\) ，\(DE⊥\)平面\(ABCD\)，\(EF/\!/BD\)，且\(EF=\)\( \dfrac{2}{3}\) \(BD\)．


              \((1)\)求证：\(FB/\!/\)平面\(ACE\)；
              \((2)\)若二面角\(C-BF-D\)的大小为\(60^{\circ}\)，求\(CF\)与平面\(ABCD\)所成角的正弦值．
              难度：中等
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            • 2．
              如图，平面五边形\(ABCDE\)中，\(AB/\!/CE\)，且\(AE=2\)，\(∠AEC=60^{\circ}\)，\(CD=ED=\)\( \sqrt{7}\) ，\(\cos ∠EDC=\)\( \dfrac{5}{7}\) \(.\)将\(\triangle CDE\)沿\(CE\)折起，使点\(D\)到\(P\)的位置，且\(AP=\)\( \sqrt{3}\) ，得到四棱锥\(P-ABCE\)．

              \((1)\)求证：\(AP⊥\)平面\(ABCE\)；

              \((2)\)记平面\(PAB\)与平面\(PCE\)相交于直线\(l\)，求证：\(AB/\!/l\)．

              难度：中等
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            • 3． 如图，在直四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，底面\(ABCD\)为等腰梯形，\(AB/\!/CD\)，\(AB=4\)，\(BC=CD=2\)，\(AA_{1}=2\)，\(E\)，\(E_{1}\)分别是棱\(AD\)，\(AA_{1}\)的中点．
              \((1)\)设\(F\)是棱\(AB\)的中点，证明：直线\(EE_{1}/\!/\)平面\(FCC_{1}\)；
              \((2)\)证明：平面\(D_{1}AC⊥\)平面\(BB_{1}C_{1}\)C.
              难度：较难
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            • 4．

              如图\(①\)所示，平面五边形\(ABCDE\)中，\(AB/\!/CD\)，\(∠BAD=90^{\circ}\)，\(AB=2\)，\(CD=1\)，\(\triangle ADE\)是边长为\(2\)的正三角形\(.\)现将\(\triangle ADE\)沿\(AD\)折起，得到四棱锥\(E - ABCD(\)如图\(②)\)，且\(DE⊥AB\)．


              \((1)\)求证：平面\(ADE⊥\)平面\(ABCD\)．

              \((2)\)求平面\(BCE\)和平面\(ADE\)所成锐二面角的大小．

              \((3)\)在棱\(AE\)上是否存在点\(F\)，使得\(DF/\!/\)平面\(BCE?\)若存在，求\(\dfrac{{EF}}{{EA}}\)的值\(;\)若不存在，请说明理由．

              难度：较难
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            • 5．
              如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面是以\(O\)为中心的菱形，\(PO⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(∠BAD= \dfrac {π}{3}\)，\(M\)为\(BC\)上一点，且\(BM= \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(BC⊥\)平面\(POM\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(MP⊥AP\)，求四棱锥\(P-ABMO\)的体积．
              难度：中等
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            • 6．

              如图，已知平面\(α∩\)平面\(β=l\)，\(EA⊥α\)，垂足为\(A\)，\(EB⊥β\)，垂足为\(B\)，直线\(a⊂β\)，\(a⊥AB\)，则直线\(a\)与直线\(l\)的位置关系是________．

              难度：中等
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            • 7．

              如图，四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是平行四边形，平面\(PBD⊥\)平面\(ABCD\)，\(PB=PD\)，\(PA⊥PC\)，\(CD⊥PC\)，\(O\)，\(M\)分别是\(BD\)，\(PC\)的中点，连接\(OM\)．


              \((1)\) 求证：\(OM/\!/\)平面\(PAD;\)

              \((2)\) 求证：\(OM⊥\)平面\(PCD\)．

              难度：较易
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            • 8． 正方形\(ABCD\)所在的平面与三角形\(CDE\)所在的平面交于\(CD\)，且\(AE⊥\)平面\(CDE\)．
              \((1)\)求证：\(AB/\!/\)平面\(CDE\)；
              \((2)\)求证：平面\(ABCD⊥\)平面\(ADE\)．
              难度：较易
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            • 9．
              如图，矩形\(ABCD\)中，\(BC=2\)，\(AB=1\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(BE/\!/PA\)，\(BE= \dfrac {1}{2}PA\)，\(F\)为\(PA\)的中点．
              \((1)\)求证：\(PC/\!/\)平面\(BDF\)．
              \((2)\)记四棱锥\(C-PABE\)的体积为\(V_{1}\)，三棱锥\(P-ACD\)的体积为\(V_{2}\)，求\( \dfrac {V_{1}}{V_{2}}\)的值．
              难度：难
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            • 10．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)是菱形，\(AB=2\)，\(∠BAD=60^{\circ}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(BD⊥\)平面\(PAC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(PA=AB\)，求\(PB\)与\(AC\)所成角的余弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)当平面\(PBC\)与平面\(PDC\)垂直时，求\(PA\)的长．
              难度：难
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