知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•南通模拟）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|
AB
|=1，
A1P
=λ
A1C
(0＜λ＜1)．
（1）若λ=
1
2
，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

难度：较难

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为A，PA=AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM．
（1）试确定点M的位置；
（2）计算直线PB与平面MAC的距离；
（3）设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AE⊥平面PBD？

难度：中等

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3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁，A₁B的交点，N是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC夹角的大小．

难度：较易

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4．如图，在四棱锥0-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

难度：中等

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5．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（即底面为正方形的直四棱柱）中，AA₁=2AB=4，点 E 在 CC₁ 上且 C₁E=3EC．
（1）证明：A₁C丄平面BED；
（2）求直线A₁C与平面A₁DE所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图，正方形ABCD与直角梯形ACEF所在的平面垂直于梯形下底AC，AB=2，梯形上底EF与直角腰EC相等且为
2
．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=
5
，AB=AD=
2
．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

难度：中等

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8．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2
2
，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的余弦值．

难度：中等

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9．如图，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=
2
，CE=2
2
，CE∥AF，AC⊥CE，
ME
=2
FM

（I）求证：CM∥平面BDF；
（II）求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小；
（III）求二面角A-DF-B的大小．

难度：中等

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10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，
AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）若二面角A-EB₁-B的大小是45°，求CE的长．

难度：中等

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