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          共50条信息

            • 1．
              如图，棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是矩形，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA=AD=2\)，\(BD=2 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)求证：\(BD⊥\)平面\(PAC\)；
              \((2)\)求二面角\(P-CD-B\)余弦值的大小；
              \((3)\)求点\(C\)到平面\(PBD\)的距离．
              难度：中等
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            • 2．
              如图，在三棱锥\(V-ABC\)中，平面\(VAB⊥\)平面\(ABC\)，\(\triangle VAB\)为等边三角形，\(AC⊥BC\)且\(AC=BC= \sqrt {2}\)，\(O\)，\(M\)分别为\(AB\)，\(VA\)的中点．
              \((1)\)求证：\(VB/\!/\)平面\(MOC\)；
              \((2)\)求证：平面\(MOC⊥\)平面\(VAB\)
              \((3)\)求三棱锥\(V-ABC\)的体积．
              难度：中等
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            • 3．
              如图，直四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB/\!/CD\)，\(AD⊥AB\)，\(AB=2\)，\(AD= \sqrt {2}\)，\(AA_{1}=3\)，\(E\)为\(CD\)上一点，\(DE=1\)，\(EC=3\)
              \((1)\)证明：\(BE⊥\)平面\(BB_{1}C_{1}C\)；
              \((2)\)求点\(B_{1}\)到平面\(EA_{1}C_{1}\) 的距离．
              难度：较易
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            • 4．
              三棱锥被平行于底面\(ABC\)的平面所截得的几何体如图所示，截面为\(A_{1}B_{1}C_{1}\)，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(A_{1}A⊥\)平面\(ABC\)，\(A_{1}A= \sqrt {3}\)，\(AB= \sqrt {2}\)，\(AC=2\)，\(A_{1}C_{1}=1\)，\( \dfrac {BD}{DC}= \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(BC⊥\)平面\(A_{1}AD\)
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-CC_{1}-B\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 5．
              如图，直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(D\)，\(E\)分别是\(AB\)、\(BB_{1}\)的中点，\(AB=BC\)．
              \((1)\)证明：\(BC_{1}/\!/\)平面\(A_{1}CD\)；
              \((2)\)平面\(A_{1}EC⊥\)平面\(ACC_{1}A_{1}\)．
              难度：较难
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            • 6．
              如图所示，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC=2\)，\(E\)是\(PC\)的中点，过\(E\)点作\(EF⊥PB\)交\(PB\)于点\(F\)．
              \((1)\)证明：\(PA/\!/\)平面\(EDB\)；
              \((2)\)证明：\(PB⊥\)平面\(EFD\)；
              \((3)\)求三棱锥\(E-BCD\)的体积．
              难度：较易
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            • 7．
              如图，在直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，已知\(AC⊥BC\)，\(BC=CC_{1}\)，设\(AB_{1}\)的中点为\(D\)，\(BC_{1}∩B_{1}C=E.\)求证：
              \((\)Ⅰ\()DE/\!/\)平面\(AA_{1}C_{1}C\)；
              \((\)Ⅱ\()BC_{1}⊥AB_{1}\)．
              难度：较易
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            • 8．
              如图，正三棱柱的所有棱长都为\(2\)，\(D\)为\(CC_{1}\)中点\(.\)用空间向量进行以下证明和计算：
              \((1)\)求证：\(AB_{1}⊥\)面\(A_{1}BD\)；
              \((2)\)求二面角\(A-A_{1}D-B\)的正弦值；
              \((3)\)求点\(C\)到面\(A_{1}BD\)的距离．
              难度：较易
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            • 9．
              如图，已知\(AB⊥\)平面\(ACD\)，\(DE/\!/AB\)，\(\triangle ACD\)是正三角形，\(AD=DE=2AB\)，且\(F\)是\(CD\)的中点．
              \((1)\)求证：\(AF/\!/\)平面\(BCE\)；
              \((2)\)求证：平面\(BCE⊥\)平面\(CDE\)；
              \((3)\)求平面\(BCE\)与平面\(ACD\)所成锐二面角的大小．
              难度：较易
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            • 10．
              如图，已知矩形\(ABCD\)所在平面垂直于直角梯形\(ABPE\)所在平面，平面\(ABCD∩\)平面\(ABPE=AB\)，且\(AB=BP=2\)，\(AD=AE=1\)，\(AE⊥AB\)，且\(AE/\!/BP\)．
              \((\)Ⅰ\()\)设点\(M\)为棱\(PD\)中点，求证：\(EM/\!/\)平面\(ABCD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)线段\(PD\)上是否存在一点\(N\)，使得直线\(BN\)与平面\(PCD\)所成角的正弦值等于\( \dfrac {2}{5}\)？若存在，试确定点\(N\)的位置；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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