知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是．

难度：中等

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2
2
，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

难度：中等

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3．四棱锥S-ABCD中，已知
AC
=（1，1，1），
AD
=（10，-5，5），
AB
=（-1，2，0），
SA
=（2，1，-3）．
（1）求证：BC∥AD；
（2）四边形ABCD的面积；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积，并说明理由．

难度：中等

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4．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁的中点
（1）求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．

难度：中等

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分别为A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求证：BN⊥平面C₁MN．

难度：较难

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7．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2，AD=3，CD=1，点E、F分别在AD、BC上，满足AE=
1
3
AD，BF=
1
3
BC．现将此梯形沿EF折叠成如图所示图形，且使AD=
3
．
（1）求证：AE⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-CE-A的大小．

难度：较难

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8．在四棱锥P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

难度：中等

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9．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是边长为1的正方形，ABEF是矩形，且AF=
1
2
，G是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）求直线BE与平面ACG所成角的正弦值的大小．

难度：中等

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10．如图，在矩形ABCD中，AB=
3
，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）若在边BC上存在点Q，且使得PQ⊥QD，求a的取值范围；
（2）当BC边上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求异面直线AQ与PD所成角的大小．

难度：较难

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