知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，矩形$ABCD$所在平面与半圆弧$ \overparen {CD}$所在平面垂直，$M$是$ \overparen {CD}$上异于$C$，$D$的点．
$(1)$证明：平面$AMD⊥$平面$BMC$；
$(2)$在线段$AM$上是否存在点$P$，使得$MC/\!/$平面$PBD$？说明理由．

难度：较易

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2．
如图，已知多面体$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$，$A_{1}A$，$B_{1}B$，$C_{1}C$均垂直于平面$ABC$，$∠ABC=120^{\circ}$，$A_{1}A=4$，$C_{1}C=l$，$AB=BC=B_{1}B=2$．
$($Ⅰ$)$证明：$AB_{1}⊥$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$；
$($Ⅱ$)$求直线$AC_{1}$与平面$ABB_{1}$所成的角的正弦值．

难度：较易

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3．
如图，$AD/\!/BC$且$AD=2BC$，$AD⊥CD$，$EG/\!/AD$且$EG=AD$，$CD/\!/FG$且$CD=2FG$，$DG⊥$平面$ABCD$，$DA=DC=DG=2$．
$($Ⅰ$)$若$M$为$CF$的中点，$N$为$EG$的中点，求证：$MN/\!/$平面$CDE$；
$($Ⅱ$)$求二面角$E-BC-F$的正弦值；
$($Ⅲ$)$若点$P$在线段$DG$上，且直线$BP$与平面$ADGE$所成的角为$60^{\circ}$，求线段$DP$的长．

难度：较易

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4．

如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$交于点$O$，$AB$$=5$，$AC$$=6$，点$E$，$F$分别在$AD$，$CD$上，$AE$$=$$CF$$= \dfrac{5}{4} $，$EF$交$BD$于点$H$$.$将$\triangle $$DEF$沿$EF$折到$\triangle {D}^{{{'}}}EF $的位置，$O{D}^{{{'}}}= \sqrt{10} $ ．

$(I)$证明：${D}^{{{'}}}H⊥ $平面$ABCD$；

$(II)$求二面角$B-{D}^{{{'}}}A-C $的正弦值．

难度：较易

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5．
如图，在三棱锥$P-ABC$中，$AB=BC=2 \sqrt {2}$，$PA=PB=PC=AC=4$，$O$为$AC$的中点．
$(1)$证明：$PO⊥$平面$ABC$；
$(2)$若点$M$在棱$BC$上，且$MC=2MB$，求点$C$到平面$POM$的距离．

难度：较易

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6．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，平面$PAD⊥$平面$ABCD$，$PA⊥PD$，$PA=PD$，$E$，$F$分别为$AD$，$PB$的中点．
$($Ⅰ$)$求证：$PE⊥BC$；
$($Ⅱ$)$求证：平面$PAB⊥$平面$PCD$；
$($Ⅲ$)$求证：$EF/\!/$平面$PCD$．

难度：较易

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，E，F分别是AD，PC的中点．
（1）证明：PC⊥平面BEF；
（2）求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值．

难度：较易

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8．
如图，已知四棱锥$P-ABCD$，$\triangle PAD$是以$AD$为斜边的等腰直角三角形，$BC/\!/AD$，$CD⊥AD$，$PC=AD=2DC=2CB$，$E$为$PD$的中点．
$($Ⅰ$)$证明：$CE/\!/$平面$PAB$；
$($Ⅱ$)$求直线$CE$与平面$PBC$所成角的正弦值．

难度：难

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9．
如图，在三棱锥$A-BCD$中，$AB⊥AD$，$BC⊥BD$，平面$ABD⊥$平面$BCD$，点$E$、$F(E$与$A$、$D$不重合$)$分别在棱$AD$，$BD$上，且$EF⊥AD$．
求证：$(1)EF/\!/$平面$ABC$；
$(2)AD⊥AC$．

难度：中等

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10．
如图，在三棱锥$P-ABC$中，$PA⊥$底面$ABC$，$∠BAC=90^{\circ}.$点$D$，$E$，$N$分别为棱$PA$，$PC$，$BC$的中点，$M$是线段$AD$的中点，$PA=AC=4$，$AB=2$．
$($Ⅰ$)$求证：$MN/\!/$平面$BDE$；
$($Ⅱ$)$求二面角$C-EM-N$的正弦值；
$($Ⅲ$)$已知点$H$在棱$PA$上，且直线$NH$与直线$BE$所成角的余弦值为$ \dfrac {3 \sqrt {7}}{21}$，求线段$AH$的长．

难度：较难

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