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          共50条信息

            • 1．
              如图\(1\)，在高为\(2\)的梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(AB=2\)，\(CD=5\)，过\(A\)、\(B\)分别作\(AE⊥CD\)，\(BF⊥CD\)，垂足分别为\(E\)、\(F.\)已知\(DE=1\)，将梯形\(ABCD\)沿\(AE\)、\(BF\)同侧折起，使得\(AF⊥BD\)，\(DE/\!/CF\)，得空间几何体\(ADE-BCF\)，如图\(2\)．

              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(BE/\!/\)面\(ACD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求三棱锥\(B-ACD\)的体积．
              难度：较易
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            • 2．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，底面\(ABC\)为正三角形，侧棱\(AA_{1}⊥\)底面\(ABC.\)已知\(D\)是\(BC\)的中点，\(AB=AA_{1}=2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(AB_{1}D⊥\)平面\(BB_{1}C_{1}C\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(A_{1}C/\!/\)平面\(AB_{1}D\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求三棱锥\(A_{1}-AB_{1}D\)的体积．
              难度：较易
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            • 3．
              如图，已知四边形\(ABCD\)是正方形，\(PD⊥\)平面\(ABCD\)，\(CD=PD=2EA\)，\(PD/\!/EA\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)分别为\(PB\)，\(BE\)，\(PC\)的中点．
              \((I)\)求证：\(GH/\!/\)平面\(PDAE\)；
              \((II)\)求证：平面\(FGH⊥\)平面\(PCD\)．
              难度：较易
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            • 4．
              如图\(1\)，在等腰直角三角形\(ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)，\(BC=6\)，\(D\)，\(E\)分别是\(AC\)，\(AB\)上的点，\(CD=BE= \sqrt {2}\)，\(O\)为\(BC\)的中点\(.\)将\(\triangle ADE\)沿\(DE\)折起，得到如图\(2\)所示的四棱椎\(A′-BCDE\)，其中\(A′O= \sqrt {3}\)．
              \((1)\)证明：\(A′O⊥\)平面\(BCDE\)；
              \((2)\)求二面角\(A′-CD-B\)的平面角的余弦值．
              难度：较易
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            • 5．
              如图，点\(P\)是菱形\(ABCD\)所在平面外一点，\(∠BAD=60^{\circ}\)，\(\triangle PCD\)是等边三角形，\(AB=2\)，\(PA=2 \sqrt {2}\)，\(M\)是\(PC\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(PA/\!/\)平面\(BDM\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：平面\(PAC⊥\)平面\(BDM\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求直线\(BC\)与平面\(BDM\)的所成角的大小．
              难度：较易
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            • 6．
              如图，三棱锥\(P-ABC\)中，平面\(PAC⊥\)平面\(ABC\)，\(∠ABC= \dfrac {π}{2}\)，点\(D\)、\(E\)在线段\(AC\)上，且\(AD=DE=EC=2\)，\(PD=PC=4\)，点\(F\)在线段\(AB\)上，且\(EF/\!/BC\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(AB⊥\)平面\(PFE\)．
              \((\)Ⅱ\()\)若四棱锥\(P-DFBC\)的体积为\(7\)，求线段\(BC\)的长．
              难度：中等
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            • 7．
              已知四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是直角梯形，\(AB/\!/DC\)，\(∠ABC=45^{\circ}\)，\(DC=1\)，\(AB=2\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA=1\)．
              \((1)\)求证：\(AB/\!/\)平面\(PCD\)；
              \((2)\)求证：\(BC⊥\)平面\(PAC\)；
              \((3)\)若\(M\)是\(PC\)的中点，求三棱锥\(M-ACD\)的体积．
              难度：较易
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            • 8．
              如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是梯形，\(AB/\!/CD\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，\(AB=AD=2CD\)，侧面\(PAD⊥\)底面\(ABCD\)，且\(\triangle PAD\)为等腰直角三角形，\(∠APD=90^{\circ}\)，\(M\)为\(AP\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AD⊥PB\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(DM/\!/\)平面\(PCB\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求\(PB\)与平面\(ABCD\)所成角的大小．
              难度：较易
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            • 9．
              如图几何体\(E-ABCD\)是四棱锥，\(\triangle ABD\)为正三角形，\(∠BCD=120^{\circ}\)，\(CB=CD=CE=1\)，\(AB=AD=AE= \sqrt {3}\)，且\(EC⊥BD\)，
              \((\)Ⅰ\()\)设\(AC\)，\(BD\)相交于点\(O\)，求证：直线\(EO⊥\)平面\(ABCD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(M\)是棱\(AE\)的中点，求二面角\(D-BM-C\)的平面角的余弦值．
              难度：较易
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            • 10．
              如图，在几何体\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，平面\(A_{1}ACC_{1}⊥\)底面\(ABC\)，四边形\(A_{1}ACC_{1}\)是正方形，\(B_{1}C_{1}/\!/BC\)，\(Q\)是\(A_{1}B\)的中点，且\(AC=BC=2B_{1}C_{1}\)，\(∠ACB= \dfrac {2π}{3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\) 证明：\(B_{1}Q/\!/\)平面\(A_{1}ACC_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\) 求直线\(AB\)与平面\(A_{1}BB_{1}\)所成角的正弦值．
              难度：较易
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