知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，PA⊥底面ABCD，其中BA⊥AD，AD∥BC，AC与BD交于点O，M是AB边上的点，且 $BM%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7DBA$ ，已知PA=AD=4，AB=3，BC=2．
（Ⅰ）求平面PAD与平面PMC所成锐二面角的正切值；
（Ⅱ）已知N是PM上一点，且ON∥平面PCD，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPN%7D$ 的值．

难度：中等

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2．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁和侧面CDD₁C₁都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DD₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅲ）若CF∥平面A₁BE，求棱BC的长度．

难度：较易

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3．若直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，则m= ．

难度：较易

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4．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=
2
．
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

难度：较难

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5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=
3
，AA₁=3，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在正四棱锥S-ABCD中，AB=8
2
，SA=10，M、N、O分别是SA、SB、BD的中点．
（1）设P是OC的中点，证明：PN∥平面BMD；
（2）求直线SO与平面BMD所成角的大小；
（3）在△ABC内是否存在一点G，使NG⊥平面BMD，若存在，求线段NG的长度；若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．（附加题-必做题）
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（I）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=
2
，D，E分别为BB₁、AC的中点
（Ⅰ）证明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

难度：中等

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9．如果直线l的方向向量是

=(-2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是

=(2，0，4)，那么（　　）

A．l⊥α

B．l∥α

C．l⊂α

D．l与α斜交

难度：中等

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10．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）用向量法证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有
OM
=
1
4
(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
)．

难度：中等

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