知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，点E为线段AB上一点．

（1）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（2）若二面角D-CE-M的大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，求出AE的长．

难度：较易

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2．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若 $AC%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7DAP%EF%BC%8CE%EF%BC%8CF$ 分别是PQ，CQ的中点．求证：
（1）CE∥平面PBD；
（2）平面FBD⊥平面PBD．

难度：较易

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，点E为PD的中点，点F在棱DC上移动．
（1）当点F为DC的中点时，求证：EF∥平面PAC
（2）求证：无论点F在DC的何处，都有PF⊥AE
（3）求二面角E-AC-D的余弦值．

难度：较易

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4．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD对角线的交点，
（1）求证：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求二面角A-B₁D₁-C₁的正切值．

难度：较易

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5．如图，在三棱锥P-ABC中，E、F分别为AC、BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：BC⊥平面PEF．

难度：较易

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，
（1）证明：PA∥平面EDB
（2）证明：平面BDE⊥平面PCB．

难度：较易

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7．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD是菱形，PA⊥平面 ABCD，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 BDF⊥平面 PCF；
（Ⅱ）若 AF=1，求证：CE∥平面 BDF．

难度：较易

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8．已知三棱台ABC-A₁B₁C₁中，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB₁=CC₁=B₁C₁=2，BC=4，AC=6
（1）求证：BC₁⊥平面AA₁C₁C
（2）点D是B₁C₁的中点，求二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

难度：较易

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9．在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（3）求点B到平面OCD的距离．
（4）求二面角O-CD-A的平面角的正切值．

难度：较易

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10．如图所示，M、N、K分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中点．求证：
（1）AN∥平面A₁MK；
（2）MK⊥平面A₁B₁C．

难度：中等

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