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          共50条信息

            • 1．
              已知在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，且\(AD=2\)，\(AB=1\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(E\)、\(F\)分别是线段\(AB\)、\(BC\)的中点．
              \((1)\)证明：\(PF⊥FD\)；
              \((2)\)判断并说明\(PA\)上是否存在点\(G\)，使得\(EG/\!/\)平面\(PFD\)；
              \((3)\)若\(PB\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(45^{\circ}\)，求二面角\(A-PD-F\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 2．
              在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AA_{1}=AD=2\)，点\(E\)在棱\(CD\)上，且\(CE= \dfrac {1}{3}CD\)．
              \((1)\)求证：\(AD_{1}⊥\)平面\(A_{1}B_{1}D\)；
              \((2)\)在棱\(AA_{1}\)上是否存在点\(P\)，使\(DP/\!/\)平面\(B_{1}AE\)？若存在，求出线段\(AP\)的长；若不存在，请说明理由；
              \((3)\)若二面角\(A-B_{1}E-A_{1}\)的余弦值为\( \dfrac { \sqrt {30}}{6}\)，求棱\(AB\)的长．
              难度：较易
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            • 3．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧棱\(A_{1}A⊥\)平面\(ABC\)，\(AC⊥BC\)，\(AC=1\)，\(BC=2\)，\(S\)，点\(D\)是\(AB\)的中点．
              \((I)\)证明：\(AC_{1}/\!/\)平面\(CDB_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)在线段\(AB\)上找一点\(P\)，使得直线\(AC_{1}\)与\(CP\)所成角的为\(60^{\circ}\)，求\( \dfrac {| \overrightarrow{AP}|}{| \overrightarrow{AB}|}\)的值．
              难度：难
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            • 4．
              如图，在四棱锥\(E-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为正方形，\(AE⊥\)平面\(CDE\)，已知\(AE=DE=2\)，\(F\)为线段\(DE\)的中点．
              \((1)\)求证：\(BE/\!/\)平面\(ACF\)
              \((2)\)求异面直线\(AD\)与\(CF\)所成角的余弦值．
              难度：较易
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            • 5．
              在四棱锥\(P-ABCD\)中，平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，\(\triangle PAD\)为等边三角形，\(AB=AD= \dfrac {1}{2}CD\)，\(AB⊥AD\)，\(AB/\!/CD\)，点\(M\)是\(PC\)的中点．
              \((I)\)求证：\(MB/\!/\)平面\(PAD\)；
              \((II)\)求二面角\(P-BC-D\)的余弦值．
              难度：难
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            • 6．
              如图，四边形\(PDCE\)为矩形，四边形\(ABCD\)为梯形，平面\(PDCE⊥\)平面\(ABCD\)，\(∠BAD=∠ADC=90^{\circ}\)，\(AB=AD= \dfrac {1}{2}CD=a\)，\(PD= \sqrt {2}a.\)

              ​
              \((1)\)若\(M\)为\(PA\)中点，求证：\(AC/\!/\)平面\(MDE\)；
              \((2)\)求平面\(PAD\)与\(PBC\)所成锐二面角的大小．
              难度：较易
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            • 7．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧面\(AA_{1}C_{1}C⊥\)底面\(ABC\)，\(AA_{1}=A_{1}C=AC=2\)，\(AB=BC\)，\(AB⊥BC\)，\(O\)为\(AC\)中点．
              \((1)\)证明：\(A_{1}O⊥\)平面\(ABC\)；
              \((2)\)若\(E\)是线段\(A_{1}B\)上一点，且满足\(V_{E-BCC_{1}}= \dfrac {1}{12}V_{ABC-A_{1}B_{1}C_{1}}\)，求\(A_{1}E\)的长度．
              难度：较易
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            • 8．
              如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AA_{1}⊥\)平面\(ABC\)，\(BC⊥AC\)，\(BC=AC=2\)，\(AA_{1}=3\)，\(D\)为\(AC\)的中点
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AB_{1}/\!/\)平面\(BDC_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(C_{1}-BD-C\)的余弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)在侧棱\(AA_{1}\)上是否存在点\(P\)，使得\(CP⊥\)平面\(BDC_{1}\)？若存在，求出\(AP\)的长；若不存在，说明理由．
              难度：较易
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            • 9．
              如图，在四棱锥\(V-ABCD\)中底面\(ABCD\)是正方形，侧面\(VAD\)是正三角形，平面\(VAD⊥\)底面\(ABCD\)
              \((1)\)证明：\(AB⊥\)平面\(VAD\)；         
              \((2)\)求面\(VAD\)与面\(VDB\)所成的二面角的余弦值．
              难度：较易
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            • 10．
              在正四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AA_{1}=2AB\)，\(E\)为棱\(CC_{1}\)上的动点．
              \((1)\)若\(E\)为棱\(CC_{1}\)的中点，求证：\(A_{1}E⊥\)平面\(BDE\)；
              \((2)\)试确定\(E\)点的位置使直线\(A_{1}C\)与平面\(BDE\)所成角的正弦值是\( \dfrac {2 \sqrt {2}}{3}\)．
              难度：较易
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