知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．
（1）求证：平面POB⊥平面PAD；
（2）若PA∥平面BMO，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BMC%7D$ 的值．

难度：较易

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2．如图，在几何体ABCDEFG中，面ABCD是正方形，其对角线AC于BD相交于N，DE⊥平面ABCD，DE∥AF∥BG，H是DE的中点，DE=2AF=2BG．
（Ⅰ）若点R是FH的中点，证明：NR∥平面EFC；
（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为2，DE=2，求二面角E-FC-G的余弦值．

难度：较易

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3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AC=2，AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，D、E分别是的AB，BB₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

难度：较易

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4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：
（1）平面PAD⊥平面ABCD；
（2）EF∥平面PAD．

难度：较易

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5．如图所示，四边形ABCD和四边形ADD₁A₁均为矩形且所在的平面互相垂直，E为线段AB的中点．
（1）证明：直线BD₁∥平面A₁DE；
（2）若AB=2AD=2AA₁=2，求点D₁到平面A₁DE的距离．

难度：较易

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6．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面AC₁D．

难度：较易

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7．如图，平面DCBE⊥平面ABC，四边形DCBE为矩形，且BC= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ AB= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ AC，F、G分别为AD、CE的中点．
（1）求证：FG∥平面ABC；
（2）求证：平面ABE⊥平面ACD．

难度：较易

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8．在如图所示的几何体中，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且 $AB%3DBD%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7DCD%3D2$ ，∠BDC=60°，E是C₁D的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）当A₁A为何值时，平面B₁C₁D与平面ABDC所成二面角的大小等于45°？

难度：较易

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9．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，AB=AD= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角A-BC-P的大小；
（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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10．如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（Ⅰ）求证：平面GNM∥平面ADC′；
（Ⅱ）求证：C′A⊥平面ABD．

难度：较易

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