知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面FGH∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．如图所示，矩形ABCD所在的平面垂直圆O所在的平面，AB是圆O的直径，M是CD上一点，且DM=EF，E、F是圆O上的点，∠EAF=∠FAB=30°．
（1）求证：DF⊥BF；
（2）求证：平面DAE∥平面MOF．

难度：中等

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3．如图，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a，AB=2a，E、F分别是AD、AB的中点．求证：平面EFB₁D₁∥平面BDC₁．

难度：中等

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4．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=2，DC=3，DD₁=4，M，N，E，F分别是棱A₁D₁，A₁B₁、，D₁C₁，B₁C₁的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD．

难度：中等

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5．如图，在正方体ABCD-EFGH中，M，N，P，Q，R分别是EH，EF，BC，CD，AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG．

难度：较易

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6．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是棱AB、CD、A₁B₁、C₁D₁的中点．求证：平面A₁EFD₁∥平面BCHG．

难度：较易

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7．如图所示，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁、CC₁的中点，AB=AD=1，AA₁=
2
．
（1）求证：平面B₁C₁E⊥平面ACD₁；
（2）证明平面B₁C₁E∥平面ADF，并求两个平面间的距离．

难度：中等

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8．如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F，G是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG，求证：平面EFG∥平面ABC．

难度：中等

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9．如图（1），已知A，B，C．P四点共面，PC上AC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于E．把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，如图（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延长AB至H，使得AB=BH，如图（3）．在AP上是否存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q点位置；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是CC₁、BC，CD的中点，O为底面ABCD的中心．
（1）求证：A₁P⊥MN；
（2）求证：OM⊥平面A₁BD；
（3）求证：平面MNP∥平面B₁D₁A．

难度：中等

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