知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•雅安模拟）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧
BD
于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求四面体FCOG的体积．

难度：较难

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2．（2016•张掖模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁，E、F分别是棱BC、CC₁的中点．
（Ⅰ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC₁，试确定点D的位置，并说明理由；
（Ⅱ）证明：EF⊥A₁C．

难度：中等

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3．（2016•海口校级模拟）如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A₁ACC₁，AB=3
3
，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A₁E=4．
（1）求证：平面A₁DC₁∥平面AB₁C；
（2）求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

难度：中等

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4．（2016•成都模拟）如图，在三棱台DEF-ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=
1
2
AB=1，求棱锥F-ABHG的体积．

难度：中等

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5．（2016•陕西模拟）如图，几何体ABCD-B₁C₁D₁中，正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，平面D₁DCC₁与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为
2
3
，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=
5
，AD∥BC，M为DD₁上任意一点．
（1）BC₁⊥∥平面ADD₁；
（2）当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，求DM的长．

难度：中等

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6．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除了A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=BE，AB=4，tan∠EAB=
1
4

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD
（2）当AC=BC时，求二面角D-AE-B的余弦值．

难度：中等

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7．如图所示，ABFC-A₁B₁F₁C₁为正四棱柱，D为BC上一点，且A₁B∥平面AC₁D，D₁是B₁C₁的中点，BC₁⊥AB₁，BC₁⊥A₁C．求证：
（Ⅰ）平面A₁BD₁∥平面AC₁D；
（Ⅱ）BC₁⊥B₁D．

难度：中等

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8．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．

难度：中等

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9．在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，AC=2
2
．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）若A₁E=C₁F=1，求平面BEF与平面ABC所成夹角的正切值．

难度：中等

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