知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•丹东一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；．

难度：中等

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2．（2016•河南模拟）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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3．（2016•南昌校级模拟）如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为棱PC上的动点，且
PM
PC
=λ（λ∈[0，1]）．
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）试确定λ的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值为
2
5
5
．

难度：中等

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4．（2015秋•沈阳校级月考）在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°．
（1）求证：BB₁⊥AC．
（2）连结AC，BD，设交点O，连结B₁O．设AB=2，D₁D=2，求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．

难度：较难

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5．如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
2
a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

难度：较难

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6．如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．
（Ⅰ）求证：DF⊥CE；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明AD⊥D₁F；
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）设AA₁=2，求三棱锥F-A₁ED₁的体积VF-A1ED1．

难度：较难

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8．如图，四棱锥S-ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=
3
AD．E为CD上一点，且CE=3DE．
（1）求证：AE⊥平面SBD；
（2）M、N分别在线段CD、SB上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）证明：P为A₁B中点．
（2）若A₁B⊥AC₁，求二面角B₁-PC-B的余弦值．

难度：中等

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10．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=a．
（Ⅰ）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当a为何值时在DE上存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，问题补充．

难度：中等

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