知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=
(n-1)(n+2)
2
时，第一步取n= ．

难度：较易

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2．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，U_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求U_l，U₂，U₃的值．
（2）求证：U_n+1＞U_n．

难度：中等

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3．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

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4．设f（1）=2，f（n）＞0（n∈N₊），且f（n₁+n₂）=f（n₁）f（n₂）
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）猜想f（n）的解析式；
（3）证明你的猜想．

难度：较难

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5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）计算S₁、S₂，猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．

难度：较难

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6．用数学归纳法证明：f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
（n∈N^*）的过程中，从n=k到n=k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了项．

难度：较易

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7．设二次函数f（x）=x²+mx+p在点（2，f（2））处的切线方程为3x-y-2=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用数学归纳法证明：
1
f′(1)
+
1
f′(2)
+…+
1
f′(n)
≤
2n-1
对一切n∈N^*恒成立．

难度：中等

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8．设数列{a_n}的前n项和是S_n，S_n+a_n=
1
2
（n²+5n+2）（n∈N）．
（1）求a₁的值，并用n和a_n表示a_n+1；
（2）猜想数列{a_n}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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9．已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，且g（n）=
1
f(n)-1
[f（1）+f（2）+…十f（n-1）]．
（1）写出g（2），g（3），g（4）的值；
（2）归纳g（n）的值，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}，a₁=
a2
2
=1且a_n+a_n+1=a_n+2（∀_n∈N^*），S_n=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
．求证：存在正整数M，使得对任意的n＞M都有2＜S_n＜3（n∈N^*）．

难度：中等

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