知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}是等比数列， $a_%7B1%7D%3D%20C_%7B%202m%2B3%20%7D%5E%7B%203m%20%7D%E2%8B%85%20A_%7B%20m-2%20%7D%5E%7B%201%20%7D$ ，公比q是 $%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4x%5E%7B2%7D%7D%29%5E%7B4%7D$ 的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若 $A_%7Bn%7D%3D%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%201%20%7DS_%7B1%7D%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7DS_%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%20n%20%7DS_%7Bn%7D$ ，用n，x表示A_n．

难度：较难

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2．
已知数列中，则数列的通项公式是 .

难度：易

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3．
已知数列满足：

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：

(3)设且证明：

难度：难

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4．

各项都为正数的数列，满足

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明对一切恒成立.

难度：中等

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5．
数列中，，

（i）若则= ；

（ii）若则=

难度：中等

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6．
（08年四川16）设数列中，，

则通项 ___________．

难度：易

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7．已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n(n∈N^*)，从C上的点Q_n(x_n，y_n)作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1(x_n+1，y_n+1)，设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n= $%20%5Cfrac%20%7By_%7Bn%2B1%7D%7D%7By_%7Bn%7D%7D$
(1)求数列{x_n}的通项公式；
(2)记c_n= $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Ba_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D$ ，数列{c_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与 $%20%5Cfrac%20%7B37%7D%7B32%7D$ 的大小(n∈N^*)；
(3)记d_n= $%20%5Cfrac%20%7B3%5Ctimes%205%5E%7Bn%7D%7D%7B2%5E%7Bn%2B2%7D%5Ctimes%20%28b_%7Bn%7D-1%29%7D$ ，数列{d_n}的前n项和为T_n，试证明：(2n-1)•d_n≤T_2n-1≤ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$ ×[1- $%28%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B8%7D%29%5E%7B2n%2B1%7D$ ]．

难度：难

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8．若数列{a_n}是正项数列，且 $%20%5Csqrt%20%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Csqrt%20%7Ba_%7B2%7D%7D%2B%5Ccdots%20%20%5Csqrt%20%7Ba_%7Bn%7D%7D$ =n²+3n，(n∈N^*)则 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B1%7D%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B2%7D%7D%7B3%7D%2B%5Ccdots%20%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D$ =(　　)

A．2n²+6n

B．n²+3n

C．4(n+1)²

D．4(n+1)

难度：难

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9．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n= $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7Bn-1%7D$ a_n-1+2n•3^n-2(n≥2，n∈N^∗)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)令b_n= $%20%5Cfrac%20%7B3%5E%7Bn-1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ (n∈N^∗)，数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
(3)令c_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D$ (n∈N^*)，数列{ $%20%5Cfrac%20%7B2c_%7Bn%7D%7D%7B%28c_%7Bn%7D-1%29%5E%7B2%7D%7D$ }的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

难度：难

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知 $S_%7Bn%7D%3D2a_%7Bn%7D-2%5E%7Bn%2B1%7D$ (n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设 $b_%7Bn%7D%3Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D%7D2$ ，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有 $B_%7B3n%7D-B_%7Bn%7D%3E%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7B20%7D$ 成立，求m的最大值；
(3)令 $c_%7Bn%7D%3D%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D%7D2$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N^*且n≥2时， $T_%7B2n%7D%3C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．

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