知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知一圆C的圆心为C（2，-1），且该圆被直线l：x-y-1=0截得的弦长是2
2
，求该圆的方程和过弦两端点的切线的方程．

难度：中等

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2．已知圆O：x²+y²=1与圆C：x²+y²-6x-8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．

难度：中等

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3．已知圆M过点P（2，0），Q（-1，
3
），且点P关于直线x+2y=0的对称点P′仍在圆M上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P（x，y）是圆M上任意一点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2）求PA²+PB²+PC²的最大值和最小值．

难度：较难

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4．圆M的圆心在直线y=-2x上，且与直线x+y=1相切于点A（2，-1），
（Ⅰ）试求圆M的方程；
（Ⅱ）从点P（3，1）发出的光线经直线y=x反射后可以照在圆M上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围．

难度：中等

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5．已知
i
=（1，0），
c
=（0，
2
），若过点A（0，
2
）、以
i
-λ
c
为法向量的直线l₁与过点B（0，-
2
）、以
c
+λ
i
为法向量的直线l₂相交于动点P．
（1）求直线l₁和l₂的方程；
（2）求直线l₁和l₂的斜率之积k₁k₂值，并证明动点P的轨迹是一个椭圆；
（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为E，F．若M，N是l：x=2
2
上两个不同的动点，且
EM
•
FN
=0，试问当|MN|取最小值时，向量
EM
+
FN
与
EF
是否平行，并说明理由．

难度：中等

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6．已知：动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比它到直线y+2=0的距离小1，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线y=-1上任取一点M作曲线C的两条切线l₁，l₂，切点分别为A，B，在y轴上是否存在定点Q，使△ABQ的内切圆圆心在定直线n上？若存在，求出点Q的坐标及定直线n的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．已知点A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为-
3
4
．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²=4的位置关系，并说明理由；
（3）直线PM与椭圆的另一个交点为N，求△OPN面积的最大值（O为坐标原点）．

难度：中等

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8．设M为抛物线y²=2x上的动点，定点m₀（-1，0），点P为线段m₀m的中点，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线．

难度：较难

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9．已知圆F1：（x+1）²+y²=16，定点F2（1，0），动圆M过点F₂，且与圆F₁相内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）若过原点且倾斜角的余弦值为
2
5
5
的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，求△ABF₁的面积．

难度：中等

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10．在平面直角坐标系内，动点P到x轴、y轴的距离之积等于1，则点P的轨迹方程是．

难度：中等

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