知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图一，在四边形PEBC中，PC=1，CB=
3
，∠CPE=
π
3
，∠PCB=
5π
6
，在边PE上取一点A，使PA=1（PE足够长），连结AC、AB，将△PAC与△EAB分别沿AC和AB折起，使平面PAC⊥平面ABC，且PE∥x，y，z（如图二）；过BC作平面交AP、AE分别于点M、N．

（1）求证：MN∥PE；
（2）设
AN
AP
=λ，求λ 的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

难度：中等

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2．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足
A1P
=λ
A1B1
．
（1）当λ=1时，求证：直线PN⊥平面AMN；
（2）若平面PMN与平面AA₁C₁C所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

难度：中等

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3．如图，已知四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=
2
AB=2CF=2
（1）求证：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

难度：中等

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4．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

难度：中等

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5．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，DD₁=AD=2，A₁B₁=1，C₁E∥平面 ADD₁A₁．
（Ⅰ）证明：E为AB的中点；
（Ⅱ）求二面角A-C₁E-D的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°
（1）证明：BB₁⊥AC；
（2）若AB=2，且二面角A₁-AB-C大小为60°，连接AC，BD，设交点为O，连接B₁O．求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．
（球体体积公式：V=
4
3
πR³，R是球半径）

难度：中等

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7．如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．

难度：中等

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8．如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-C的正弦值．
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．

难度：中等

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9．如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥AB，PA⊥BC，D为BC的中点，PA=PD=2，AB=AC=4．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）在棱PB上是否存在点E，使得二面角E-AD-P的大小为45°，若存在，请求出PE的长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．已知ABCD中，AD=BC．AD∥BC，且AB=3
2
，AD=2
3
．BD=
6
，沿BD将其折成一个二面角A-BD-C，使得AB⊥CD．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求折后点A到面BCD的距离．

难度：中等

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