知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\(F\left( \dfrac{ \sqrt{6}}{2},0\right) \)，渐近线方程为\(y=\pm \sqrt{2}x\)．

\((I)\)求双曲线\(C\)的方程；

\((II)\)直线\(l:y=kx-1\)与双曲线\(C\)交于\(P,Q\)两点，试探究，是否存在以线段\(PQ\)为直径的圆过原点\(.\)若存在，求出\(k\)的值，若不存在，请说明理由．

难度：难

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2．

已知经过点\(M(4,1)\)的直线\(l\)交双曲线\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{2}-1\)于\(A\)，\(B\)两点，且\(M\)是\(AB\)的中点，则直线\(l\)的方程为________．

难度：难

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3．
已知双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)经过点\((2,3)\)，两条渐近线的夹角为\(60^{\circ}\)，直线\(l\)交双曲线于\(A\)、\(B\)两点．
\((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
\((2)\)若\(l\)过原点，\(P\)为双曲线上异于\(A\)，\(B\)的一点，且直线\(PA\)、\(PB\)的斜率\(k_{PA}\)，\(k_{PB}\)均存在，求证：\(k_{PA}⋅k_{PB}\)为定值；
\((3)\)若\(l\)过双曲线的右焦点\(F_{1}\)，是否存在\(x\)轴上的点\(M(m,0)\)，使得直线\(l\)绕点\(F_{1}\)无论怎样转动，都有\( \overrightarrow{MA}⋅ \overrightarrow{MB}=0\)成立？若存在，求出\(M\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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4．
若点\(P(2,0)\)到双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a > 0)\)的一条渐近线的距离为\(1\)，则\(a=\) ______ ．

难度：难

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5．
已知双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}(-c,0)\)，\(F_{2}(c,0)\)，若双曲线上存在一点\(P\)使\( \dfrac {\sin PF_{1}F_{2}}{\sin PF_{2}F_{1}}= \dfrac {a}{c}\)，则该双曲线的离心率的取值范围是 ______ ．

难度：难

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6．
若双曲线的一条渐近线为\(x+2y=0\)，且双曲线与抛物线\(y=x^{2}\)的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为 ______ ．

难度：难

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7．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，双曲线\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)，且经过右焦点\(F_{2}\)的直线\(l\)与双曲线的右支交于\(A\)、\(B\)两点．
\((1)\)求双曲线\(E\)的方程；
\((2)\)求\(\triangle ABF_{1}\)的面积的取值范围．

难度：难

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8．

已知直线\(l\)\({\,\!}_{1}\)，\(l\)\({\,\!}_{2}\)是双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\)的两条渐近线，点\(P\)是双曲线\(C\)上一点，若点\(P\)到渐近线\(l\)\({\,\!}_{1}\)距离的取值范围是\([\dfrac{1}{2},1]\)，则点\(P\)到渐近线\(l\)\({\,\!}_{2}\)距离的取值范围是\((\) \()\)

A．\([\dfrac{4}{5},\dfrac{8}{5}]\)

B．\([\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3}]\)

C．\([\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{5}]\)

D．\([\dfrac{4}{5},\dfrac{8}{3} ]\)

难度：难

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9．
已知两点\(M(1,\dfrac{5}{4}),\ N(-4,-\dfrac{5}{4})\)，给出下列曲线方程：

\(①{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)； \(②\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1\)； \(③\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-{{y}^{2}}=1\)．

在上述曲线上存在点\(P\)满足\(|MP|=|NP|\)的所有曲线方程是 \(.(\)写出序号即可\()\)

难度：难

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10．
已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)经过点\((\sqrt{6},\sqrt{3})\)，一个焦点的坐标为\((-\sqrt{6},0)\)．

\((1)\)求双曲线的方程；

\((2)\)直线\(y=kx+2\)与双曲线右支交于不同的两点\(A\)，\(B\)，求\(k\)的取值范围．

难度：难

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