知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，且a+b≠0，有
f(a)+f(b)
a+b
＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式f（log₂x）＜f（log₄3x）的解集；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=-x+log₂
1-x
1+x
．
（1）求f（
1
2015
）+f（-
1
2015
）的值；
（2）当x∈（-a，a]．其中a∈（0，1），a是常数时，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=kx+log₂（4^x+1）（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=log₂（a•2^x-4a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求h（x）的定义域；
（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若a=log₃27+log
1
2
2，求使f（x）＞1成立的x的集合．

难度：中等

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5．设函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）的图象经过点（-
1
2
，-1）．
（1）求实数a；
（2）判断函数f（x）的奇偶数，并写出f（
1
2
）的值．

难度：较易

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6．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式．

难度：中等

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7．对于函数f（x）=log
1
2
（ax²-2x+4）（a∈R）．
（1）若f（x）的定义域是R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范围；
（3）若f（x）的值域是（-∞，1]，求a的取值范围；
（4）若f（x）在（-∞，3]上为增函数，求a的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=log₂（x+a）．
（1）当a=1时，若0＜f（1-2x）-f（x）＜
1
2
，求x的取值范围；
（2）若定义在R上的奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的函数表达式；
（3）对于（2）中的g（x），解关于x的不等式g（x）≥1-log₂3．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=ln（x+a），其中a＞0，若方程f（x）=x有唯一解．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若k≤-
1
2
，f₁（x）=f（x）-x，证明：对任意的x∈[0，+∞），f₁（x）≥kx²恒成立．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=lg[（x²-2x+a）²-2（x²-2x+a）-3]，其中2＜a＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性（不要求证明）；
（Ⅲ）求满足f（x）＞f（3）时x的取值范围．

难度：中等

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