知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC至D，使得AC•BF=AD•BE．
（1）证明：DA是⊙O的切线；
（2）若AF•AB=1：
2
，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．

难度：较难

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2．如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．
（1）证明：AB∥CD；
（2）若PC=2AC，求
AP
BC
．

难度：中等

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3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=36°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC²=3OA²，试求α的度数．

难度：较难

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4．已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点M和N，记BC得中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R．证明：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上．

难度：较难

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5．如图，AD是⊙O的直径，B为⊙O上的一点，连接AB并延长至点E，使得AE=AD，连接DE，交⊙O于点C，连接OC．
（1）求证：OC∥AE；
（2）若OC=AB，判断△BCE的形状并说明理由．

难度：中等

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6．已知：如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D，求证：A，B，C，D四点共圆

难度：中等

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7．设△ABC为正三角形，BC、AC上分别有一点D、E，且BD=
1
2
CD，CE=
1
2
AE，BE、AD相交于P，求证：P、D、C、E四点共圆，且AP⊥CP．

难度：较易

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8．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，求证：E，B，C，F四点共圆．

难度：较易

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9． H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到F，使HF=CE，作FD⊥BC，EG⊥BH，其中D，G为垂足，M是线段CF的中点，O₁，O₂分别△ABG，△BCH的外接圆圆心，⊙O₁，⊙O₂的另一交点为N；证明：
（1）A，B，D，G四点共圆；
（2）O₁，O₂，M，N四点共圆．

难度：中等

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10．如图，△BC中，AB＞AC，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE，∠BAC的外角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．求证：A、P、B、C四点共圆．

难度：中等

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