知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．函数y=x+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D$ 的取值范围为 ______ ．

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2．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D%2Bb%28a%EF%BC%9E0%29$ 是奇函数．
（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；
（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围．

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3．（1）求证：函数y=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0， $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ ]上是减函数，在[ $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ ，+∞）上是增函数．
（2）若f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D$ ，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的值域；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的值．

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4．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ +b（x≠0），其中a，b∈R．若对任意的a∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，2]，不等式f（x）≤10在x∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，1]上恒成立，则b的取值范围为 ______ ．

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5．

探究函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x},x∈(0,+∞)$的最小值，并确定取得最小值时$x$的值$.$列表如下：

$x$

$…$

$0.5$

$1$

$1.5$

$1.7$

$1.9$

$2$

$2.1$

$2.2$

$2.3$

$3$

$4$

$5$

$7$

$…$

$y$

$…$

$16$

$10$

$8.34$

$8.1$

$8.01$

$8$

$8.01$

$8.04$

$8.08$

$8.6$

$10$

$11.6$

$15.14$

$…$

请观察表中$y$值随$x$值变化的特点，完成以下的问题．
$(1)$函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间$(0,2)$上递减；函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间 ______ 上递增$.$当$x=$ ______ 时，$y_{最小}=$ ______ ．
$(2)$证明：函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间$(0,2)$递减．
$(3)$思考：函数$y=2x+ \dfrac {8}{x}$时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时$x$为何值？$($直接回答结果，不需证明$)$

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6．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Bt%7D%7Bx%7D$ （t＞0）有如下性质：该函数在（0， $%20%5Csqrt%20%7Bt%7D$ ]上是减函数，在[ $%20%5Csqrt%20%7Bt%7D$ ，+∞）是增函数
（1）若g（x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ ）=x²+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D$ ，求g（x）的解析式
（2）已知函数h（x）= $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D$ （x∈[0，1]），利用上述性质，求h（x）的值域．

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7．已知函数 $f%28x%29%3D4x%2B%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bx%7D%28x%EF%BC%9E0%C2%A0%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0x%E2%88%88R%29$ 在x=2时取得最小值，则实数a= ______ ．

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8．设函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ （a为常数，且a＞0）．
（1）是否存在常数a，使f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若关于x的不等式x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ -m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，求常数m的取值范围．

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9．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7Bx%7D%2Bx%5E%7B2%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%280%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$
（1）利用函数单调性定义，求函数f（x）单调区间；
（2）已知函数g（x）=|lgx|．若0＜a＜b，且g（a）=g（b），求a²+16b的取值范围．

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