知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足4a_n-3S_n=2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=
1
2
a_n-4n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且c为斜边的长．
（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；
（2）已知a，b，c均为正整数．
（i）若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积；
（ii）若a，b，c成等差数列，将这些三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为S_n，且T_n=-S 1+S2-S3+…+(-1)nSn，求满足不等式|T_n|＞3•2ⁿ的所有n的值．

难度：中等

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3．若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=9，且a_n+1=a

2
n
+2a_n，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n．
（Ⅲ）在（2）的条件下，记b_n=
lgTn
lg(an+1)
，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞4030的n的最小值．

难度：中等

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4．（2015秋•江西校级期末）在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₃的等差中项是9
3
．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（
π
4
x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

难度：中等

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5．已知函数f （x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a₁=f（d-1），a₃=f （d+1），b₁=f （q-1），b₃=f （q+1），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，
①求证：对任意的n≥2，（n∈N^*）时
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜1
②设数列{c_n}对任意的自然数n均有
c1
b1
+
c2
b2
+
c3
b3
+…+
cn
bn
=Sn+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c_n的值．

难度：较难

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6．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bn+1
bn
＞
n+1
成立．

难度：较难

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7．已知：0＜θ＜π，等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ，
m
=(sin2θ，
1
2
)，
n
=(2，3-cos4θ)．
（1）问
m
•
n
是否为数列{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
（2）若等比数列{a_n}的公比q满足|q|＜1，求θ的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=
3x
2x+1
，数列{a_n}的首项a₁=t＞0，且a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若t=
3
5
，证明：{
1
an
-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围．

难度：中等

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9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且2T_n=4S_n-（n²+n），n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）设b_n=
n+1
an+1
，比较b₁+b₂+…+b_n与3的大小．

难度：中等

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10．设函数f（x）满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：a_n+1=3f（a_n）-1（n∈N⁺），且a₁=1，求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）求证：
3
2
≤（1+
1
2f(n-1)
）^f（n-1）＜2，（n∈N⁺）

难度：较难

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