知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
a
=（1，2），
b
=（-3，2）．
（1）求|
a
+
b
|与|
a
-
b
|；
（2）当k为何值时，向量k
a
+
b
与
a
+3
b
垂直？
（3）当k为何值时，向量k
a
+
b
与
a
+3
b
平行？并确定此时它们是同向还是反向？

难度：较难

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2．设向量
a
=（4cosα，sinα），
b
=（sinβ，4cosβ），
c
=（cosβ，-4sinβ）．
（1）若
a
•
b
=2
a
•
c
，求tan（α+β）的值；
（2）求|
b
+
c
|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：
a
∥
b
．

难度：中等

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3．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为
3
米（将眼睛距地面的距离按
3
米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

难度：中等

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4．已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(cos2θ，sin2θ)，
c
=(-1，0)，
d
=(0，1)．
（1）求证：
a
⊥(
b
+
c
)；
（2）设f(θ)=
a
•(
b
-
d
)，当θ∈(0，
π
2
)时，求f（θ）的值域．

难度：中等

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5．已知复数z₁=sin2x+λi，z2=m+(m-
3
cos2x)i(λ，m，x∈R)，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）设λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调减区间．

难度：较易

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6．已知平面向量
a
=(sin(π-2x)，1)，
b
=(
3
，cos2x)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g(x)
lim
n→+∞
πn
πn+xN
（0＜x＜2π），求函数y=f（x）与y=g（x）图象的所有交点坐标．

难度：中等

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7．已知向量
m
=(sinA，cosA)，
n
=(1，-2)，且
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=cos2x+tanAsinx，(x∈[0，
π
4
])的值域．

难度：较易

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8．设O为坐标原点，P₁（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂）为单位圆上两点，且∠P₁OP₂=θ，求证：x₁x₂+y₁y₂=cosθ．

难度：中等

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9．已知向量
a
，
b
是两个不共线的向量．
（1）求证：|
a
•
b
|≤|
a
||
b
|；
（2）应用（1）的结论求函数y=
1+sinx
2-cosx
的最大值．（注：第2小题未用向量法不给分，要用到向量数量积相关概念）

难度：中等

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10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA1⊥平面ABC，A₁B₁=A₁C₁=2，AA₁=1，∠B₁A₁C₁=120°，D是BC的中点，P是AD的中点，点Q在A₁B上且BQ=3QA₁
（1）求证：PQ∥平面AA₁C₁C；
（2）求平面AA₁B与平面A₁BD夹角的余弦值．

难度：中等

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