知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．在杨辉三角中，第0行的数1记为C₀⁰，第n行从左到右的n+1个数分别记为C_n⁰，C_n¹，C_n²，…，C_nⁱ，…，C_nⁿ．如图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第15行中从左到右的第3个数；
（2）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，并证明你的结论；
（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现1+3+6+10+15=35，事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m，k（m，k∈N^*）的数学式子表示上述结论，并证明．

难度：中等

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2．证明：若2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．

难度：中等

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3．已知正△ABC内一点D，满足∠ADC=150°．证明：由线段AD、BD、CD为边构成的三角形是直角三角形．

难度：中等

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4．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=
a+b
1+ab
．
（1）求证：a*b=S；
（2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

难度：中等

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5．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

难度：中等

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6．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，那么
AB
AC
=
BD
DC
成立吗？

难度：中等

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7．设整数a，b，c与实数r满足：ar²+br+c=0，ac≠0，证明：
r2+c2
是无理数．

难度：中等

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8．求证菱形的两条对角线互相垂直．

难度：较易

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9．已知x+
1
x
=2cosθ，计算x²+
1
x2
，x³+
1
x3
．并由计算的结果猜想xⁿ+
1
xn
的表达式．

难度：中等

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10．证明：对于不小于3的自然数n，都存在一个自然数a_n，使得它可以表示为自己的n个互不相等的正约数的和．

难度：中等

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