知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（-
3
5
，
4
5
），求tan（2θ+
π
4
）的值；
（2）若
OA
+
OB
=
OC
，四边形OACB的面积用S_四表示，求S_四+
OA
•
OC
的取值范围．

难度：中等

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2．如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤
π
3
），分别设S_△OAC，S_△ABC的面积为S₁和S₂．
（1）用sinθ、cosθ表示S₁和S₂；
（2）求
S1
cosθ
+
S2
sinθ
的最大值及取最大值时θ的值．

难度：较易

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3．在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点P，Q在单位圆上，且满足∠AOP=
π
6
， ∠AOQ=α， α∈[0，π)．
（1）若cosα=
3
5
，求cos(α-
π
6
)的值；
（2）设函数f（α）=
OP
•
OQ
，求f（α）的值域．

难度：中等

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4．（1）已知cos（
π
6
-α）=
3
3
，求cos（
5π
6
+α）-sin²（α-
π
6
）的值．
（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为
5
5
，
7
2
10
．求tanα，tanβ的值．

难度：中等

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5．平面直角坐标系中，圆O方程为x²+y²=1，直线y=2x与圆O交于A，B两点，又知角α、β的始边是x轴，终边分别为OA和OB，则cos（α+β）= ．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=2
3
sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的终边与单位圆交于点P（
3
5
，
4
5
），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-
π
6
，
π
3
]，求f（x）最小正周期和值域．

难度：中等

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7．如图，设P是单位圆和x轴正半轴的交点，M、N是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠POM=
π
3
，∠PON=α，α∈[0，π）
（1）求点M的坐标；
（2）设f（α）=
OM
•
ON
，求f（α）的取值范围．

难度：中等

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8．如图，过原点且倾斜角为α的直线交单位圆于点A（
3
5
，
4
5
），C是单位圆与x轴正半轴的交点，B是单位圆上第二象限的点，且△AOB为正三角形．
（I）求sin²
α
2
的值；
（II）求△BOC的面积．

难度：中等

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9．已知A，B是单位圆O上的动点，且A，B分别在第一，二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形，记∠AOC=α
（1）若A点的横坐标为
3
5
，求tan（540°-α）的值；
（2）若tan（α+60°）=-
3
4
，求B、C两点之间的距离．

难度：中等

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10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在单位圆上，∠xOA=α，∠AOB=
π
3
，且α∈（
π
6
，
π
3
）．
（1）若x₁=
2
7
7
，求x₂的值；
（2）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂，设S₁-S₂=f（α），求函数f（α）的值域．

难度：中等

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