知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（-
3
5
，
4
5
），求tan（2θ+
π
4
）的值；
（2）若
OA
+
OB
=
OC
，四边形OACB的面积用S_四表示，求S_四+
OA
•
OC
的取值范围．

难度：中等

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2．如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤
π
3
），分别设S_△OAC，S_△ABC的面积为S₁和S₂．
（1）用sinθ、cosθ表示S₁和S₂；
（2）求
S1
cosθ
+
S2
sinθ
的最大值及取最大值时θ的值．

难度：较易

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3．（1）已知cos（
π
6
-α）=
3
3
，求cos（
5π
6
+α）-sin²（α-
π
6
）的值．
（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为
5
5
，
7
2
10
．求tanα，tanβ的值．

难度：中等

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4．根据条件利用单位圆写出θ的取值范围：
（1）cosθ＜
2
2
；
（2）
1
2
≤sinθ＜
3
2
．

难度：中等

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5．已知A，B是单位圆O上的动点，且A，B分别在第一，二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形，记∠AOC=α
（1）若A点的横坐标为
3
5
，求tan（540°-α）的值；
（2）若tan（α+60°）=-
3
4
，求B、C两点之间的距离．

难度：中等

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6．用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sinα|+|cosα|≥1．

难度：较易

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7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在单位圆上，∠xOA=α，∠AOB=
π
3
，且α∈（
π
6
，
π
3
）．
（1）若x₁=
2
7
7
，求x₂的值；
（2）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂，设S₁-S₂=f（α），求函数f（α）的值域．

难度：中等

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8．画图：①利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角
1°sinα≥
1
2
2°tanα＞
3
3

②求证：若0≤α₁＜α2≤
π
2
时，则sinα₁＜sinα₂．

难度：较易

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