知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设$f(x)=6\cos ^{2}x- \sqrt {3}\sin 2x(x∈R)$．
$($Ⅰ$)$求$f(x)$的最大值及最小正周期；
$($Ⅱ$)$在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，锐角$A$满足，$f(A)=3-2 \sqrt {3}$，$B= \dfrac {\pi }{12}$，求$ \dfrac {a}{c}$的值．

难度：难

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2．
已知：$\sin ^{2}30^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}+\sin ^{2}150^{\circ}= \dfrac {3}{2}$；$\sin ^{2}5^{\circ}+\sin ^{2}65^{\circ}+\sin ^{2}125^{\circ}= \dfrac {3}{2}$通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 ______ ．

难度：难

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3．
已知函数$f(x)=\sin ( \dfrac {π}{2}-x)\sin x- \sqrt {3}\cos ^{2}x.$
$(I)$求$f(x)$的最小正周期和最大值；
$(II)$讨论$f(x)$在$[ \dfrac {π}{6}, \dfrac {2π}{3}]$上的单调性．

难度：难

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4．
$ \dfrac{1}{2\sin 10^{\circ}}-2\sin 70^{\circ}= $ ．

难度：难

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5．

已知等差数列$\{a_{n}\}$的公差$d∈(0,1)$，且$\dfrac{{{\sin }^{2}}{{a}_{3}}-{{\sin }^{2}}{{a}_{7}}}{\sin ({{a}_{3}}+{{a}_{7}})}=-1$，当$n=10$时，数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$取得最小值，则首项$a_{1}$的取值范围是

A．$(-\dfrac{5\pi }{8},-\dfrac{9\pi }{16})$

B．$[-\dfrac{5\pi }{8},-\dfrac{9\pi }{16}]$

C．$(-\dfrac{5\pi }{4},-\dfrac{9\pi }{8})$

D．$[-\dfrac{5\pi }{4},-\dfrac{9\pi }{8}]$

难度：难

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6．

求值：

$(1)\sin 50{}^\circ (1+\sqrt{3}\sin 10{}^\circ )$

$(2)\dfrac{2{{\cos }^{2}}42{}^\circ +\sin 75{}^\circ \cos 81{}^\circ -1}{\cos 6{}^\circ -\cos 75{}^\circ \cos 81{}^\circ }$

难度：难

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7．设函数f_n(θ)=sinⁿθ+(-1)ⁿcosⁿθ，0 $%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%20%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D$ ，其中n为正整数．
(1)判断函数f₁(θ)、f₃(θ)的单调性，并就f₁(θ)的情形证明你的结论；
(2)证明：2f₆(θ)-f₄(θ)=(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ)；
(3)对于任意给定的正奇数n，求函数f_n(θ)的最大值和最小值．

难度：难

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8．对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是(　　)

A．2sinα•cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)

B．2cosα•sinβ=sin(α+β)+cos(α-β)

C． $cos%5Calpha%20%2Bcos%5Cbeta%20%3D2sin%20%5Cfrac%20%7B%5Calpha%20%2B%5Cbeta%20%7D%7B2%7D%5Ccdot%20sin%20%5Cfrac%20%7B%5Calpha%20-%5Cbeta%20%7D%7B2%7D$

D． $cos%5Calpha%20-cos%5Cbeta%20%3D2cos%20%5Cfrac%20%7B%5Calpha%20%2B%5Cbeta%20%7D%7B2%7D%5Ccdot%20cos%20%5Cfrac%20%7B%5Calpha%20-%5Cbeta%20%7D%7B2%7D$

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9．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%2Bcosx%2Bcos2x%2Bcos3x%7D%7B1-cosx-2cos%5E%7B2%7Dx%7D$
(1)当sinθ-2cosθ=2时，求f(θ)的值；
(2)当 $k%3D%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%29-1%7D%7Bf%28x%29%2B2%7D$ 时，求k的取值范围．
(3)设函数 $y%3D%20%5Cfrac%20%7Bf%28%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D-x%29%7D%7Bf%28x%29%2B4%7D%2Cx%5Cin%20%280%2C%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%29%5Ccup%20%28%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cpi%20%29$ ，求函数y的最小值．
注：sinθ+sinφ=2sin $%20%5Cfrac%20%7B%5Ctheta%20%2B%5Cphi%20%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7B%5Ctheta%20-%5Cphi%20%7D%7B2%7D$ ，cosθ+cosφ=2cos $%20%5Cfrac%20%7B%5Ctheta%20%2B%5Cphi%20%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7B%5Ctheta%20-%5Cphi%20%7D%7B2%7D$ ．

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10．已知 $sin%5Calpha%20%2Bsin%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%2Ccos%5Calpha%20%2Bcos%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，则tan(α+β)的值为____________．

难度：难

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