知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设点P的坐标为（x-3，y-2）．
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第二象限的概率；
（2）若利用计算机随机在区间[0，3]上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第三象限的概率．

难度：中等

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2．设A市120急救中心与B小区之间开120急救车所用时间为X分钟（单程），所用时间只与道路通畅状况有关，取容量为50的样本进行统计，如表：
X（分钟） 25 30 35 40
频数 6 19 15 10
（1）求X的分布列与数学期望；
（2）若A市120急救中心接到来自B小区的急救电话后准备接病人进行救护，若从小区接病人上急救车大约需要5分钟时间，求急救车从急救车中心出发接上病人返回到急救中心不超过75分钟的概率．

难度：中等

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3．设关于x的一元二次方程为x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从-2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[-3，0]中任取的一个数，b是从区间[-2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

难度：中等

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4．某港口船舶停靠的方案是先到先停．
（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．
（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X-Y≥0.5，有6次满足X-2Y≥0.5．

难度：较难

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5． 2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元．适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图（如图）：
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失
表一：
经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计
捐款超过500元 30
捐款低于500元 6
合计
（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如表，在表一空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（Ⅲ）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率．
附：临界值表
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n=a+b+c+d．

难度：中等

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6．在正方形ABCD内任取一点P，求∠APB＞120°的概率．

难度：中等

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7．两台电脑共同使用一个宽带上网，各占a%，b%的带宽，当a+b＞100时，发生堵塞，求发生堵塞的概率．

难度：中等

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8．若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求关于x的一元二次方程x²+2x+b=0有实根的概率．

难度：较易

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9．设AB=6，在线段AB上任取两点C、D（端点A、B除外），将线段AB分成三条线段AC、CD、DB．
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件A）的慨率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件B）的概率；
（3）根据以下用计算机所产生的20组随机数，试用随机数模拟的方法，来近似计算（2）中事件B的概率，
20组随机数如下：
组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 0.52 0.36 0.58 0.73 0.41 0.6 0.05 0.32 0.38 0.73
Y 0.76 0.39 0.37 0.01 0.04 0.28 0.03 0.15 0.14 0.86
组别 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 0.67 0.47 0.58 0.21 0.54 0.64 0.36 0.35 0.95 0.14
Y 0.41 0.54 0.51 0.37 0.31 0.23 0.56 0.89 0.17 0.03
（X和Y都是0～1之间的均匀随机数）

难度：中等

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10．已知，实数x，y满足-1＜x＜1，-1＜y＜1，记A为事件“x²+y²＜1“．
（Ⅰ）试求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设计用计算机模拟方法计算事件A发生的概率的算法，只要求写出伪代码语句．

难度：中等

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进入组卷

	经济损失4000元以下	经济损失4000元以上	合计
捐款超过500元	30
捐款低于500元		6
合计

k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

组别	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	0.52	0.36	0.58	0.73	0.41	0.6	0.05	0.32	0.38	0.73
Y	0.76	0.39	0.37	0.01	0.04	0.28	0.03	0.15	0.14	0.86

组别	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
X	0.67	0.47	0.58	0.21	0.54	0.64	0.36	0.35	0.95	0.14
Y	0.41	0.54	0.51	0.37	0.31	0.23	0.56	0.89	0.17	0.03

X（分钟）	25	30	35	40
频数	6	19	15	10