知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）用基向量
AA1
，
AB1
，
AC1
表示向量
DE
；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=1，求直线DE与平面AB₁C₁所成角的正弦值．

难度：中等

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2．若{
a
，
b
，
c
}是空间的一个基底，试判断{
a
+
b
，
b
+
c
，
c
+
a
}能否作为空间的一个基底．

难度：中等

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3．如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO=1，M是PC的中点．
（1）设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AP
=
c
，用
a
，
b
，
c
表示向量
BM
；
（2）在如图的空间直角坐标系中，求向量
BM
的坐标．

难度：中等

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4．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′．求证：
AC
+
AB
+
AD
=2
AC
．

难度：较易

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5．如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为A₁C₁与B₁D₁的交点，化简下列向量表达式：
（1）
AA1
+
A1B1
；
（2）
1
2
A1B1
+
1
2
A 1D1
；
（3）
AA1
+
1
2
A1B1
+
1
2
A1D1
；
（4）
AB
+
BC
+
CC1
+
C1A1
+
A1A
．

难度：较易

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6．如图所示，在长方体体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC的中点．
（1）化简：
A1O
-
1
2
AB
-
1
2
AD
；
（2）设E是棱DD₁上的点，且
DE
=
2
3
DD1
，若
EO
=x
AB
+y
AD
+z
AA1
，试求实数x，y，z的值．

难度：较易

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7．已知{
e1
，
e2
，
e3
}为空间的一个基底，且
OA
=
e1
+2
e2
-
e3
，
OB
=-3
e1
+
e2
+2
e3
，
OC
=
e1
+
e2
-
e3
，能否以{
OA
，
OB
，
OC
}作为空间的一组基底？

难度：中等

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8．如图，设O是▱ABCD所在平面外的任一点，已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
你能用
a
，
b
，
c
表示
OD
吗？若能，用
a
，
b
，
c
表示出
OD
；若不能，请说明理由．

难度：较易

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9．空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，试用向量
a
，
b
，
c
表示向量
OG
和
GH
．

难度：中等

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10．如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别在BB₁和DD₁上，且BE=
1
3
BB₁，DF=
2
3
DD₁．
（1）证明：A、E、C₁、F四点共面．
（2）若
EF
=x
AB
+y
AD
+z
AA1
，求x+y+z．

难度：中等

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