知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•黄冈校级期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3
2
；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q垂直于AP，并证明你的结论．

难度：中等

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2．（2015秋•隆化县校级期中）已知：正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设：
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AD
=
c
，试采用向量法解决下列问题
（1）求
EF
的模长；
（2）求
EF
，
GH
的夹角．

难度：较难

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值；
（2）在线段BC₁上确定一点D，使得AD⊥A₁B，并求
BD
BC1
的值．

难度：较难

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4．已知空间三点A（0，2，3），B （-2，1，6），C（1，-1，5）
（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积
（2）求平面ABC一个法向量
（3）若向量
a
分别与
AB
，
AC
垂直，且|
a
|=
3
求
a
的坐标．

难度：中等

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5．某几何体如图所示，底面ABCD是边长为2的正方形，ACFE是平行四边形，AE=2，∠EAB=∠EAD=60°．
（1）求
AF
•
AE
的值；
（2）求|
AF
|．

难度：中等

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6．已知
AB
=（-2，3，5），
AC
=（4，1，a），
AD
=（6，b，-2）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数a，b的值；
（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数a，b满足的关系式．

难度：较易

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7．已知平行六面体，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，求|
AC1
|．

难度：较易

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8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱AA₁上，且∠ACB=90°，AA₁=BC=2，AC=1．
（1）若D为AA₁的中点，试求三棱锥C₁-A₁B₁D的体积；
（2）若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，求AD的长．

难度：中等

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9．已知A（2，-1，3），B（1，2，-2），C（x，y，z），求
AB
，|
AB
|，|
AC
|，|
BC
|．

难度：较易

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10．已知三棱锥O-ABC的顶点O（0，0，0），A，B，C三点分别在x轴、y轴、z轴上，且|OA|=2|OB|=3|OC|=6，求AC边长的中线长．

难度：较易

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