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          共50条信息

            • 1．

              \(19.\)如图，在直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)中，\(\angle {{A}_{1}}AB=90{}^\circ \)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}/\!/AB\)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}=1\)，\(AB=A{{A}_{1}}=2.\)直角梯形\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)通过直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)以直线\(A{{A}_{1}}\)为轴旋转得到，且使得平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)．


              \((1)\)求证：平面\(CA{{B}_{1}}\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)；

              \((2)\)延长\({{B}_{1}}{{A}_{1}}\)至点\({{D}_{1}}\)，使\({{B}_{1}}{{A}_{1}}={{A}_{1}}{{D}_{1}}\)，\(E\)为平面\(ABC\)内的动点，若直线\({{D}_{1}}E\)与平面\(CA{{B}_{1}}\)所成的角为\(\alpha \)，且\(\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，求点\(E\)到点\(B\)的距离的最小值．

              难度：中等
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            • 2．

              如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(AC\cap BD=0\)，\(A_{1}O⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．

              \((1)\)证明：平面\(A_{1}CO⊥\)平面\(BB_{1}D_{1}D\)；

              \((2)\)若\(∠BAD=60^{\circ}\)，求二面角\(B-OB_{1}-C\)的余弦值．

              难度：较易
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            • 3．

              已知\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，则平面\(ABC\)的一个单位法向量是(    )

              A．\(\left( \left. \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)　　　　　　
              B．\(\left( \left. \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)

              C．\(\left( \left. - \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)
              D．\(\left( \left. - \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)
              难度：易
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            • 4．

              若\(A(0,2,\dfrac{19}{8})\)，\(B(1,-1,\dfrac{5}{8})\)，\(C(-2,1,\dfrac{5}{8})\)是平面\(\alpha \)内的三点，设平面\(\alpha \)的法向量\(\vec{a}=(x,y,z)\)，则\(x:y:z=\)________________。

              难度：较易
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            • 5．
              若平面\(α\)、\(β\)的法向量分别为\( \overrightarrow{n_{1}}=(2,3,5)\)，\( \overrightarrow{n_{2}}=(-3,1,-4)\)，则\((\)　　\()\)
              A．\(α/\!/β\)
              B．\(α⊥β\)
              C．\(α\)，\(β\)相交但不垂直
              D．以上均有可能
              难度：较易
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            • 6．

              已知梯形\(CEPD\)如如图所示，其中\(PD=8\)，\(CE=6\)，\(A\)为线段\(PD\)的中点，四边形\(ABCD\)为正方形，现沿\(AB\)进行折叠，使得平面\(PABE⊥\)平面\(ABCD\)，得到如图所示的几何体，已知当点\(F\)满足\(\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{AB}(0 < \lambda < 1)\)时，平面\(DEF⊥\)平面\(PCE\)，则\(λ\)的值为

              A．\(\dfrac{1}{2}\)
              B．\(\dfrac{2}{3}\)
              C．\(\dfrac{3}{5}\)
              D．\(\dfrac{4}{5}\)
              难度：较易
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            • 7．

              若直线 \(l\) 的方向向量为\( \overrightarrow{b} \)，平面\(α \) 的法向量为\( \overrightarrow{n} \)，则可能使\(l/\!/α \) 的是

              A．\( \overrightarrow{b}=\left(1,0,0\right) \)，\( \overrightarrow{n}=\left(-2,0,0\right) \)
              B．\( \overrightarrow{b}=\left(1,3,5\right), \overrightarrow{n}=\left(1,0,1\right) \)

              C．\( \overrightarrow{b}=\left(0,2,1\right) \)，\( \overrightarrow{n}=\left(-1,0,-1\right) \)
              D．\( \overrightarrow{b}=\left(1,-1,3\right) \)，\( \overrightarrow{n}=\left(0,3,1\right) \)
              难度：易
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            • 8．
              已知向量\( \overrightarrow{AB}=(0,2,1)\)，\( \overrightarrow{AC}=(-1,1,-2)\)，则平面\(ABC\)的一个法向量可以是\((\)　　\()\)
              A．\((3,-1,-2)\)
              B．\((-4,2,2)\)
              C．\((5,1,-2)\)
              D．\((5,-2,1)\)
              难度：较易
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            • 9．

              在三棱锥\(P-ABC\)中，\(CP\)，\(CA\)，\(CB\)两两垂直，\(AC=CB=1\)，\(PC=2\)，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面\(PAB\)的法向量的是(    )

              A．\((1,1,\dfrac{1}{2})\)
              B．\((1,\sqrt{2},1)\)
              C．\((1,1,1)\)
              D．\((2,-2,1)\)
              难度：中等
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            • 10．

              已知直线\(l\)过点\(P(1,0,-1)\)，平行于向量\(a=(2,1,1)\)，平面\(α\)过直线\(l\)与点\(M(1,2,3)\)，则平面\(α\)的法向量不可能是(    )

              A．\((1,-4,2)\)
              B．\((\dfrac{1}{4},-1,\dfrac{1}{2})\)
              C．\((-\dfrac{1}{4},1,-\dfrac{1}{2})\)
              D．\((0,-1,1)\)
              难度：较易
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