知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

难度：中等

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2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，Q分别是BB₁，BC₁中点，点P在线段C₁M上，且
C1P
=x
C1M
，
（1）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AQ
；
（2）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AP
；
（3）若AP与平面A₁BC交于N，
AN
=y
AP
，求出y关于x的函数关系式．

难度：中等

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3．如图，△BCD中，AB=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=
6
2
．
（I）求证：BO∥平面PAC；
（II）若点M为PC上，且PC⊥平面AMB，求二面角A-BM-O的正弦值．

难度：中等

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4．在如图所示的空间直角坐标系中，AB=AD=2，AC=4，E，F分别是AD，BD的中点．
（1）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值；
（2）设点M在平面ABC内，满足DM⊥平面CEF，试求出点M的坐标．

难度：较难

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5．如图，四棱锥S-ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=
3
AD．E为CD上一点，且CE=3DE．
（1）求证：AE⊥平面SBD；
（2）M、N分别在线段CD、SB上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）三点，

=（1，1，1），则以

为方向向量的直线l与平面ABC的关系是（　　）

A．垂直

B．不垂直

C．平行

D．以上都有可能

难度：中等

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7．设直线a，b的方向向量是
e1
，
e2
，平面α的法向量是
n
，则下列推理中
①
e1
∥
e2
e1
∥
n
⇒b∥α
②
e1
∥
n
e2
∥
n
⇒a∥b
③
e1
∥
n
b⊄α
e1
⊥
e2
⇒b∥α
④
e1
∥
e2
e1
∥
n
⇒b⊥α
其中正确的命题序号是    ．

难度：中等

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8．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB
内一点，
HC1
=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．

难度：中等

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