知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•韶关二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，PB=PC=
2
，E是PB的中点，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2CD=2AD=2．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PCD；
（Ⅱ）设F是线段CD上的点，若CF=
1
3
CD，求三棱锥F-PAB的体积．

难度：中等

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2．（2016•南通模拟）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥C-DD₁E的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D．

难度：较易

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3．（2016•福建模拟）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=
3
．
（Ⅰ）求证：AD⊥BE；
（Ⅱ）若BE=
5
，求三棱锥F-BCD的体积．

难度：中等

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4．（2016•宜宾模拟）已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置，点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．
（I）求证：AC₁⊥BD；
（Ⅱ）当EM=2
6
时，求三棱锥B-EFM的体积．

难度：中等

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5．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AE=1，AB=2，CD=3，E，F分别为AB，CD上得点，以EF为轴将正方形ADFE向上翻折，使平面ADFE与平面BEFC垂直．如图2．
（1）若点P在线段BD上，使得FP⊥平面BDC，求FP的长；
（2）求多面体AEBDFC的体积．

难度：中等

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6．在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于（用文字表述）

难度：较易

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7．（2016春•宜昌期中）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=
2
，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：CO⊥面VAB；
（3）求三棱锥C-VAB的体积．

难度：较易

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8．如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形（矩形的一个边在三角形的边上），并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面．问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？

难度：中等

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9．（2015秋•邯郸期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，若CB=CD=CF=a．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面AED；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDF的体积．

难度：中等

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10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC₁=1，AC=2，∠ABC=90°．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）求三棱锥A₁-ABC₁的体积．

难度：中等

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