知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
1 4
2 3

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值及对应的特征向量．

难度：较难

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2．已知二阶矩阵M=
2 1
a b
（a，b∈R），若矩阵M属于特征值-1的一个特征向量
α1
=
-1
3
，属于特征值3的一个特征向量
α2
=
1
1
．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若向量
β
=
-3
5
，计算M⁵
β
的值．

难度：中等

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3．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1，λ₂=2，其对应的一个特征向量分别为e₁=
1
1
，e₂=
1
0
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求圆C：x²+y²=1在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线C'的方程．

难度：较难

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4．已知矩阵A=
12
-14
．
（Ⅰ）求A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和对应的一个特征向量
α1
、
α2
．

难度：中等

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5．已知二阶矩阵M=
a 1
3 b
的特征值λ=-1所对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（1）求矩阵M；
（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C′的方程为xy=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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6．已知矩阵A=（
3
2

a
b
）的两个特征值为6和1，
（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A^-1．

难度：较难

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7．已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量e₁=
2
3
，并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量e₂=
1
-1
，
（1）求矩阵M；
（2）求M^-1．

难度：较难

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8．已经矩阵M=
4 0
0 5
．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．

难度：中等

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9．已知二阶矩阵A=[
a b
c d
]，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为a₁=[
1
-1
]，属于特征值λ₂=4的一个特征向量为a₁=[
3
2
]．求矩阵A．

难度：较难

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10．矩阵M=
3 6
5 2
有属于特征值λ₁=8的一个特征向量e₁=
6
5
，及属于特征值λ₂=-3的一个特征向量e₂=
1
-1
．
（1）对于向量
α
=
3
8
，记做
α
=e1-3e2，利用这一表达式计算M3
α
，M50
α
；
（2）对于向量
β
=
8
3
，计算 M5
β
，M100
β
．

难度：较易

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