知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵M=
1 -2
-2 1
，a=
3
1
．
（1）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）求矩阵M的特征值和特征向量；
（3）试计算M²⁰a；．

难度：较难

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2．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．求矩阵M．

难度：较难

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3．已知
α
=
2
1
为矩阵A=
1 a
-1 4
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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4．如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（
1
2
，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知矩阵M=
4 -3
2 -1
．
（1）求逆矩阵M^-1；
（2）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．

难度：较易

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6．设矩阵A=MN，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．其中 M=
1
1
2
4
，N=
1
-1
2
1
．

难度：较难

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7．已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M对应的变换下得到点P′（-4，0），如果正实数λ是矩阵M的特征值，α是对应的一个特征向量且|α|=2
13
，求向量λ的值与向量α．

难度：中等

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8．设矩阵M=
2 1
4 a
，如果关于x、y的方程组M
x
y
=
1
6
没有实数解，那么矩阵M是否有非零特征值？如果有，求出这个特征值和对应的一个特征向量；如果没有，说明理由．

难度：中等

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9．已知矩阵M=
1 2
0 3

（1）试求M的逆矩阵；
（2）求M的特征值及特征向量．

难度：较易

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10．已知矩阵M=
2 0
1 1
：
（1）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）求矩阵M的特征值及相应的特征向量．

难度：较难

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