知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=[
1 a
-1 b
]的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为
α
=[

2
1
]．
（1）求矩阵A；
（2）若A[

x
y
]=[

a
b
]，求x，y的值．

难度：较难

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2．已知
a
=
1
1
为矩阵A=
1 a
-1 4
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

难度：较难

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3．已知点A（1，2）在矩阵M=[
a a
1 b
]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．

难度：较难

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4．设矩阵A=
1 a
0 1
（a≠0）．
（1）求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）利用（1）所猜想的结论，求证：Aⁿ的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．

难度：中等

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5．已知矩阵A=
1
-1

2
4
．
（Ⅰ）求A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和对应的特征向量
α1
、
α2
．

难度：较难

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6．已知矩阵M=
2 a
2 1
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P（-4，0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

难度：较难

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7．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值
a
b
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足a_ij=
i+(j-i-1)n，    i＜j
i+(n-i+j-1)n，  i≥j
，当n=4时数表的“特征值”为    ．

难度：较难

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8．已知矩阵M=（
1 0
0 -1
），N=（
1 2
3 4
）．
（Ⅰ）求使得MX=N成立的二阶矩阵X；
（Ⅱ）求矩阵X的特征值以及每个特征值所对应的一个特征向量．

难度：较难

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9．已知矩阵A=
1 2
-1 4
，
（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．

难度：较难

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10．已知矩阵M=
4-3
2-1
，向量
α
=
7
5

（Ⅰ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；
（Ⅱ）求M³
α
．

难度：较难

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