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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}是等差数列，公差d≠0，在行列式
              .
              a1a2a3
              a4a5a6
              a7a8a9
              .
               中，元素ai（i∈N*，1≤i≤9）是实数，则所有元素的代数余子式大于零的个数有    个．
              难度：中等
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            • 2． 已知函数f（x）=
              x
              1+x
              ，在9行9列的矩阵
              a11a12 a13   …  a19
              a21a22   a23  … a29
              ……    …    …      …
              a91a92 a93  …      a99
               )              中，第i行第j列的元素aij=f（
              i
              j
              ），则这个矩阵中所有数之和为    ．
              难度：较难
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            • 3． 对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
              a11a12…a1n
              a21a22…a2n
              …………
              an1an2…ann
              ，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．设t(j)=
              n
              i=1
              aij=a1j+a2j+…+anj              ．
              （Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A66并计算
              6
              j=1
              t(j)              ；
              （Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
              n
              j=1
              t(j)              =
              n
              i=1
              [ 
              n
              i
               ]              ；
              （Ⅲ）若f(n)=
              1
              n
              n
              j=1
              t(j)              ，g(n)=
              ∫
              n
              1
              1
              x
              dx              ，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
              难度：较难
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            • 4． 设n阶方阵
              An=
              1          3           5         …    2n-1
              2n+1  2n+3  2n+5  …  4n-1
              4n+1  4n+3  4n+5  …  6n-1
              …        …         …            …       …
              2n(n-1)+1  2n(n-1)+3  2n(n-1)+5  …  2n2-1

              任取An中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵An-1，任取An-1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为xn，记Sn=x1+x2+…+xn，则Sn=x1+x2+…+xn，则
              lim
              n→∞
              Sn
              n3+1
              =    ．
              难度：较难
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            • 5． 设A是m阶方阵，定义运算：A•A=A2，An+1=An•A（n∈N*），称这一运算为矩阵的乘方．显然矩阵的乘方满足：对任意的m，n∈N*，Am•An=Am+n，设A=
              11
              01
              ，计算A2，A3，A4，并对一切正整数n，猜想An=    ．
              难度：中等
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            • 6． （2009•浦东新区一模）如图“杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的二阶行列式
              .
              11
              12
              .
               的值等于1；从左上角开始的9个元素构成的三阶行列式
              .
              1   1   1 
              1   2   3 
              1   3   6 
              .
               的值也等于1；猜想从左上角开始的16个元素构成的四阶行列式
              .
              1   1   1   1 
              1   2   3   4  
              1   3   6  10 
              1   4  10  20 
              .
              的值等于    ．
              难度：中等
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            • 7． 已知一9行9列的矩阵中的元素是由互不相等的81个数组成，
              a11a12…a19
              a21a22…a29
              …………
              a91a92…a99
              若每行9个数与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间一个数a55=7，则矩阵中所有元素之和为    ．
              难度：中等
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            • 8． 定义如下运算：
              x11x12x13…x1n
              x21x22x23…x2n
              x31x32x33…x3n
              …
              xm1xm2xm3…xmn
              ×
              y11y12y13…y1k
              y21y22y23…y2k
              y31y32y33…y3k
              …
              yn1yn2yn3…ynk
              =
              z11z12z13…z1k
              z21z22z23…z2k
              z31z32z33…z3k
              …
              zmkzmkzmk…zmk

              其中zij=xi1y1j+xi2y2j+xi3y3j+…+xinynj．（1≤i≤m，1≤j≤n，i．j∈N*）．
              现有n2个正数的数表A排成行列如下：（这里用aij表示位于第i行第j列的一个正数，i，j∈N*）
              a11a12a13…a1n
              a21a22a23…a2n
              a31a32a33…a3n
              …
              an1an2an3…ann
              ，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，若a24=1，a42=
              1
              8
              ，a43=
              3
              16
              ，
              （1）求aij的表达式（用i，j表示）；
              （2）若
              a11a12a13…a1n
              a21a22a23…a2n
              a31a32a33…a3n
              …
              an1an2an3…ann
              ×
              13
              232
              333
              ⋮⋮
              n3n
              =
              b11b12
              b21b22
              b31b32
              ⋮⋮
              bn1bn2
              ，求bi1．bi2（1≤i≤n，用i，n表示）
              难度：较难
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            • 9． 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
              2x
              1-2x
              ，x≠
              1
              2
              -1，x=
              1
              2
              的图象上的任意两点，点M在直线x=
              1
              2
              上，且
              AM
              =
              MB
              ．
              （1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
              （2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f(
              1
              n
              )+f(
              2
              n
              )+f(
              3
              n
              )+…+f(
              n-1
              n
              )              ，设an=2Sn，Tn为数列{an}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式
              Tm-c
              Tm+1-c
              ＜
              1
              2
              成立，求c和m的值．
              （3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．
              难度：较难
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            • 10． 在n行n列矩阵中，记位于第i行第j列的数为aij（i，j=1，2…，n）．当n=9时，a11+a22+a33+…+a99=    ．
              难度：较易
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