知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设$M⊆N^{+}$，正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项的积为$T_{n}$，且$∀k∈M$，当$n > k$时，$ \sqrt {T_{n+k}T_{n-k}}=T_{n}T_{k}$都成立．
$(1)$若$M=\{1\}$，$a_{1}= \sqrt {3}$，$a_{2}=3 \sqrt {3}$，求数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和；
$(2)$若$M=\{3,4\}$，$a_{1}= \sqrt {2}$，求数列$\{a_{n}\}$的通项公式．

难度：较易

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2．
定义$ \dfrac {n}{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}$为$n$个正数$p_{1}$，$p_{2}$，$…$，$p_{n}$的“均倒数”，若已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项的“均倒数”为$ \dfrac {1}{2n+1}$，又$b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{4}$，则$ \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+…+ \dfrac {1}{b_{2017}b_{2018}}=$ ______ ．

难度：较易

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3．
设$S_{n}$为正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，满足$2S_{n}=a \;_{ n }^{ 2 }+a_{n}-2$．
$(I)$求$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(II)$若不等式$(1+ \dfrac {2}{a_{n}+t})\;^{a_{n}}\geqslant 4$对任意正整数$n$都成立，求实数$t$的取值范围；
$(III)$设$b_{n}=e\;^{ \frac {3}{4}a_{n}\ln (n+1)}($其中$r$是自然对数的底数$)$，求证：$ \dfrac {b_{1}}{b_{3}}+ \dfrac {b_{2}}{b_{4}}+..+ \dfrac {b_{n}}{b_{n+2}} < \dfrac { \sqrt {6}}{6}$．

难度：中等

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4．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=k(3^{n}-1)$，且$a_{3}=27$．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$若$b_{n}=\log _{3}a_{n}$，求数列$\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：较易

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5．
正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足：$S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$；
$(2)$令$b\;_{n}= \dfrac {n+1}{(n+2)^{2}a_{n}^{2}}$，数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}.$证明：对于任意$n∈N^{*}$，都有$T\;_{n} < \dfrac {5}{64}$．

难度：较易

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6．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}=2a_{n}-2(n∈2N^{*}).$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求数列$\{S_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：较难

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7．已知在等差数列{a_n}中，a₃=4前7项和等于35，数列{b_n}中，点(b_n，s_n)在直线x+2y-2=0上，其中s_n是数列{b_n}的前n项和(n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)求证：数列{b_n}是等比数列；
(3)设c_n=a_n•b_n•T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n并证明； $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ≤T_n＜ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ．

难度：难

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8．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=(1+q)a_n-qa_n-1(n≥2，q≠0)．
(Ⅰ)设b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*)，证明{b_n}是等比数列；
(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅲ)若a₃是a₆与a₉的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N^*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项．

难度：中等

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9．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足 $S_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%3Da_%7Bn%7D%28S_%7Bn%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ．
(1)求a_n；
(2)令 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7B2n%2B1%7D$ ，求数列{b_n}的前项和T_n．

难度：较难

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10．已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%2Bb_%7Bn%7D%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Ba_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%2Bb_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%7D%7D$ ，n∈N^*，
(1)设b_n+1=1+ $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，n∈N*，，求证：数列 $%5C%7B%28%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%29%5E%7B2%7D%5C%7D$ 是等差数列；
(2)设b_n+1= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ • $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

难度：难

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