知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）设g（x）=f（x）+
a
ex
，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜
e
e-1
•(2n)n．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=x|x-a|-2．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）f（x）是否存在三个零点，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x≥0，f（x）=（
1
2
）^x-1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断函数在R上的单调性（不需证明，只需给出结论）；
（2）对于函数f（x）是否存在实数m，使f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0）对所有θ∈[0，
π
2
]都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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5．已知幂函数f（x）=x -m2+2m+3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=
q•
f(x)
+2
x
（q＞0），若g（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数q的取值范围．

难度：中等

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6．已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
π
3
，求曲线P的方程；
（2）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有
OA
•
OB
＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．

难度：较难

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7．已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-a
x
在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-
1
x2
在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2
x
+
3
x
，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=lg（
3
-（
3
-1）tanx-tan²x）．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若β是两个模长为2的向量
a
，
b
的夹角，且不等式f（x）≤lg（1+sinβ）对于定义域内的任意实数x恒成立，求
a
+
b
的取值范围．

难度：中等

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9． f(x)=
ax2+1
-bx x≥0
cex x＜0
其中a＞0
（1）若f（x）在R上连续，求c
（2）若要使
lim
x→+∞
f(x)=0，则a与b应满足哪些条件？
（3）若对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数，求b的范围．

难度：较难

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10．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，c=
1
2
时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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