知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知集合Ω_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_i，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．∀X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}∈Ω_n，称x_i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ω_n，且满足如下两条性质：
①S中元素个数不少于4个；
②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；
则称S为Ω_n的一个好子集．
（1）S={X，Y，Z，W}为Ω₃的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；
（2）若S为Ω_n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2^n-1；
（3）若S为Ω_n的一个好子集，且S中恰有2^n-1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．

难度：较难

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2．下列命题正确的个数是（　　）
①命题“∃x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“∀x∈R，x²+1≤3x”；
②已知a=log₄7，b=log₂3，c=0.2^-0.6，则a＜b＜c；
③“平面向量

与

的夹角是钝角”的充分必要条件是“

•

＜0”；
④已知数列{a_n}为等比数列，则a₁＜a₂＜a₃是数列{a_n}为递增数列的必要条件．

A．3个

B．4个

C．1个

D．2个

难度：中等

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3．下列四个结论：
①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；
②命题“∃x₀∈R，x₀²-x₀-1＜0”的否定是“∀x∈R，x²-x-1≥0”；
③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y=x^a在区间（0，+∞）上单调递减．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

难度：中等

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4．有以下三个结论：
①命题“∀x∈R，x-lnx＞0”的否定是“∃x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”；
②“a=1”是“直线x-ay+1=0与直线x+ay-2=0互相垂直”的充要条件；
③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”的逆否命题为真命题
其中正确结论的个数为（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

难度：较易

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5．定义在（0，+∞）上函数f（x）满足对任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），记数列a_n=f（2ⁿ），有以下命题：
①f（1）=0；
②a₁=a₂；
③令函数g（x）=xf（x），则g(x)+g(
1
x
)=0；
④令数列b_n=2ⁿ•a_n，则数列{b_n}为等比数列．
其中真命题的序号为．

难度：中等

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6．下列说法中所有正确的是
①“p∧q”为真的一个必要不充分条件是“p∨q”为真
②若p：
1
x
＞0，则￢p：
1
x
≤0
③若实数a，b满足
a
+
b
=1，则
1
2
≤a+b≤1
④数列{
2n
(2n+1)2
}（n∈N^*）的最大项为
2
9
．

难度：较难

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7．下列判断错误的是（　　）

A．命题“若am²≤bm²，则a≤b”是假命题

B．命题“∀x∈R，x³-x²-1≤0”的否定是“∃x₀∈R，x03-x02-1＞0”

C．“若a=1，则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题

D．命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件

难度：中等

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8．函数f（x）=3sin（2x-
π
3
）（x∈R）的图象为C，如下结论中正确的是（写出所在正确结论的编号）．
①图象C关于直线x=
11
12
π对称；
②图象C关于点（
2π
3
，0）对称；
③函数f（x）在区间（-
π
12
，
5π
12
）内是增函数；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是
π
4
的整数倍；
⑤函数y=f（x）的表达式可以改写为f（x）=3cos（2x+
7π
6
）；
⑥将图象C向左平移
π
3
个单位长度后得到的函数为奇函数．

难度：中等

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9．给出下列四个命题：
①幂函数一定是奇函数或偶函数；
②任意两个幂函数图象都有两个以上交点；
③如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同；
④图象不经过点（-1，1）的幂函数一定不是偶函数
其中为真命题的是（写出所有真命题的序号）

难度：中等

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10．若定义在R上的不恒为零的函数f（x）满足：∀x，y∈R都有f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），则称函数f（x）为“平方差函数”，下列命题：
（1）若f（x）=
1，x≥0
0，x＜0
，则f（x）为“平方差函数”；
（2）若f（x）=kx（k＞0），则f（x）为“平方差函数”；
（3）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为奇函数；
（4）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为增函数．
其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）

难度：中等

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