知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（Ⅰ）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥
1
2
．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
mx
x2+n
（m，n∈R）在x=1处取到极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=lnx+
a
x
，若对任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₂∈[1，e]，使得g（x₂）≤f（x₁）+
7
2
，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（
1
x
）=log_ax+
x
lna
+
2
xlna
（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的极值；
（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=
x-1
ex-1
（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），证明当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂＞4．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=ax²-blnx在点A（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．

难度：较易

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6．设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当b＞
1
2
时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）当b≤0时，求f（x）的极值点并判断是极大值还是极小值；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式
1
n2
＜ln（n+1）-lnn＜
1
n
都成立．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-
5
2
x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式
2
12
+
3
22
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)成立．

难度：较难

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8．设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3），当x=-
2
2
时，f （x）取得极大值
2
3
，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f （x）的表达式；
（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（3）求证：|f（sinx）-f（cosx）|≤
2
2
3
（x∈R）．

难度：较难

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9．已知函数，f（x）=x，g(x)=
3
8
x2+lnx+2．
（Ⅰ）求函数F（x）=g（x）-2•f（x）的极大值点与极小值点；
（Ⅱ）若函数F（x）=g（x）-2•f（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值（e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）设bn=f(n)
1
f(n+1)
（n∈N^*），试问数列{b_n}中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=ax²-lnx+6．
（1）若函数f（x）的极值点为x=
2
2
，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈（0，+∞）时，若关于x的不等式f（x）+lnx＜x-ln（x+1）+6恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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