知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数f(x)=
ax2+bx
ex
，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x-ey=0是曲线y=f（x）的切线．
（1）求a，b的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g(x)=min{f(x)，x-
1
x
}(x＞0)，若函数h（x）=g（x）-cx²为增函数，求实数c的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x₀∈（a，b），使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．试用这个结论证明：若-1＜x₁＜x₂，函数g(x)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ₁，λ₂，…，λ_n，满足λ₁+λ₂+…+λ_n=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x₁，x₂，…，x_n，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）．

难度：较难

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3．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（其中e为自然对数的底数），
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知函数f(x)=
1
3
x3-ax+b，其中实数a，b是常数．
（1）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A“f（1）≥0”发生的概率；
（2）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=6lnx+x²-8x，g(x)=
p
x
+x2
(p∈R)
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=e^x-x（e是自然数对数的底数）
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|
1
2
≤x≤2}，且M∩P≠∅，求实数a的取值范围．

难度：中等

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8．设函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
x2+bx+1(a，b∈R)，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）试用a表示b；
（Ⅱ）当a＜
1
2
时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当a=-3时，对∀x₁，x₂∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤
9
2
．

难度：较难

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9．已知函数，f（x）=x，g(x)=
3
8
x2+lnx+2．
（Ⅰ）求函数F（x）=g（x）-2•f（x）的极大值点与极小值点；
（Ⅱ）若函数F（x）=g（x）-2•f（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值（e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）设bn=f(n)
1
f(n+1)
（n∈N^*），试问数列{b_n}中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．设定义在R上的奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，a，b，c，d∈R．当x=-1时，f（x）取得极大值
2
3
．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）判断函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切
点的横坐标在区间[-
2
，
2
]上，并说明理由；
（3）设x_n=1-2^-n，y_m=
2
（3^-m-1）（m，n∈N*），求证：|f（x_n）-f（y_m）|＜
4
3
．

难度：难

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